初中三角形中做辅助线的技巧及典型例题.doc

口诀:
三角形
图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。线段和差及倍半,延长缩短可试验。
线段和差不等式,移到同一三角去。三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
由角平分线想到的辅助线
口诀:
图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。
角平分线具有两条性质:a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线;
②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。
通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线
(一)、截取构全等
如图1-2,AB//CD,BE平分∠BCD,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。
已知:如图1-4,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC,求证:AB-AC=CD
分析:此题的条件中还有角的平分线,在证明中还要用到构造全等三角形,此题还是证明线段差倍分问题。用到的是截取法来证明的,在长的线段上截取短的线段,来证明。试试看可否把短的延长来证明呢?
(二)、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
如图2-1,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证:∠ADC+∠B=180 
分析:可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。
已知如图2-3,△相交于点P。求证:∠BAC的平分线也经过点P。
分析:连接AP,证AP平分∠BAC即可,也就是证P到AB、AC的距离相等。
练****br/>-4∠AOP=∠BOP=15 ,PC//OA,PD⊥OA,
如果PC=4,则PD=( )
A 4 B 3 C 2 D 1
:如图2-6,在正方形ABCD中,E为CD 的中点,F为BC
上的点,∠FAE=∠DAE。求证:AF=AD+CF。
:如图2-7,在Rt△ABC中,∠ACB=90 ,CD⊥AB,垂足为D,AE平分∠CAB交CD于F,过F作FH//AB交BC于H。求证CF=BH。
(三):作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交,则截得一个等腰三角形,垂足为底边上的中点,该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。(如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交)。
已知:如图3-1,∠BAD=∠DAC,AB>AC,CD⊥AD于D,H是BC中点。求证:DH=(AB-AC)
分析:延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。问题可证。
:如图3-2,AB=AC,∠BAC=90 ,AD为∠ABC的平分线,CE⊥:BD=2CE。
分析:给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角形。
:如图3-3在△ABC中,AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线,过顶点B作BFAD,交AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于M。
求证:AM=ME。
分析:由AD、AE是∠BAC内外角平分线,可得EA⊥AF,从而有BF//AE,所以想到利用比例线段证相等。
已知:如图3-4,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD=AB,CM⊥AD交AD延长线于M。求证:AM=(AB+AC)
分析:题设中给出了角平分线AD,自然想到以AD为轴作对称变换,作△ABD关于AD的对称△AED,然后只需证DM=EC,另外由求证的结果AM=(AB+AC),即2AM=AB+AC,也可尝试作△ACM关于CM的对称△FCM,然后只需证DF=CF即可。
练****br/>已知:在△ABC中,AB=5,AC=3,D是BC中点,AE是∠BAC的平分线,且CE⊥AE于E,连接DE,求DE。
已知BE、BF分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线,AF⊥BF于F,AE⊥BE于E,连接EF分别交AB、AC于M、N,求证MN=BC
(四)、以角分线上一点做角的另一边的平行线
有角平分线时,常过角平分线上的一点作角的一边的平行线,从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交,从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。