高数二重积分习题集解答.doc

第9章重积分及其应用
:
(1) 上半球体:;
(2) 由抛物面,柱面x2+y2=1及xOy平面所围成的空间立体
解答:(1) ;
(2)
所属章节:第九章第一节
难度:一级
,确定下列积分的值:
(1) ,其中D为;
(2) ,其中D为
解答:(1) ;
(2)
所属章节:第九章第一节
难度:一级
,占有闭区域D,薄板上电荷分布的面密度为,且在D上连续,试用二重积分表示该板上的全部电荷Q.
解答:
所属章节:第九章第一节
难度:一级
,取x轴铅直向下,y轴位于水平面上,并设薄板占有xOy平面上的闭区域D,试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力
解答:
所属章节:第九章第一节
难度:一级
,比较下列各组二重积分的大小
(1) 与,其中D是由x轴,y轴及直线x+y=1所围成的区域;
(2) 与,其中D是矩形区域:0≤x≤1,0≤y≤1;
(3) 与,其中D是任一平面有界闭区域;
(4) 与,其中D是矩形区域:–1≤x≤0,0≤y≤1;
解答:(1) 在区域D内部,,所以I1>I2;
(2) 在区域D内部,,故,所以 I1>I2;?
(3) 由于,所以I1<I2;
(4) 在区域D内部,,故,所以I1>I2
所属章节:第九章第一节
难度:一级
,估计下列二重积分的值
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4)
解答:(1) 由于的面积为32,在其中,而等号不恒成立,故;
(2) 由于的面积为,在其中,而等号不恒成立,故;
(3) 由于的面积为,在其中,而等号不恒成立,故;
注:原题有误?还是原参考答案有误?如将改为,则区域面积为200,结论为
(4) 由于的面积为,在其中,而等号不恒成立,故.
所属章节:第九章第一节
难度:二级
(x,y)是连续函数,试求极限:
解答:先用积分中值定理,再利用函数的连续性,即得
.
所属章节:第九章第一节
难度:二级
(x,y)在有界闭区域D上非负连续,证明:
(1) 若f(x,y)不恒为零,则;
(2) 若,则f(x,y)≡0
解答:(1) 若f(x,y)不恒为零,则存在,,利用连续函数的保号性,存在的一个邻域,在其上恒有,于是,而,所以;
(2) 假若f(x,y)不恒为零,则由上题知,矛盾,故f(x,y)≡0.
所属章节:第九章第一节
难度:二级
:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5)
解答:(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
所属章节:第九章第二节
难度:一级
,并将二重积分化为两种次序不同的二次积分:
(1) D由曲线y=lnx,直线x=2及轴所围成;
(2) D由抛物线y=x2与直线2x+y=3所围成;
(3) D由y=0及y=sinx(0≤x≤π)所围成;
(4) D由曲线y=x3,y=x所围成;
(5) D由直线y=0,y=1,y=x,y=x–2所围成
解答:本题图略,建议画出
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
注:原题有误?还是原参考答案有误?如将“D由曲线y=x3,y=x所围成”改为“D由曲线所围成”,则答案为原参考答案
;
(5)
所属章节:第九章第二节
难度:一级
:
(1) ,D由曲线x=2,y=x,xy=1所围成;
(2) ,D由点(0,0),(π,0),(π,π)为顶点的三角形区域;
(3) ,D由抛物线和y =x2围成;
(4) ,D由抛物线y2=x与直线y=x–2所围成;
(5) ,D由直线y=x,y=2和曲线x=y3所围成
解答:(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
所属章节:第九章第二节
难度:二级
,并交换积分次序(假定f(x,y)在积分区域上连续):
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5)
(6)
解答:本题图略,建议画出
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6)
所属章节:第九章第二节
难度:一级
:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6)
解答:(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5)
;
(6) .
所属章节:第九章第