1. 中点弦问题(点差法).doc

①中点弦问题;②焦点三角形;③直线与圆锥位置关系问题;④圆锥曲线的相关最值(范围)问题;⑤求曲线的方程问题;⑥存在两点关于直线对称问题;⑦两线段垂直问题
圆锥曲线的中点弦问题------点差法
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
解题策略:具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为、,将这两点代入圆锥曲线的方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论),消去四个参数。
如:(1)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0),则有
。
(2)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0)则有
(3)y2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.
经典例题讲解
一、求以定点为中点的弦所在直线的方程
例1、过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分,求这条弦所在直线的方程。
解:设直线与椭圆的交点为、
为的中点
又、两点在椭圆上,则,
两式相减得
于是
即,故所求直线的方程为,即。
例2、已知双曲线,经过点能否作一条直线,使与双曲线交于、,且点是线段的中点。若存在这样的直线,求出它的方程,若不存在,说明理由。
策略:这是一道探索性****题,一般方法是假设存在这样的直线,然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题,应考虑点差法或韦达定理。
解:设存在被点平分的弦,且、
则,
,
两式相减,得

故直线
由消去,得

这说明直线与双曲线不相交,故被点平分的弦不存在,即不存在这样的直线。
评述:本题如果忽视对判别式的考察,将得出错误的结果,请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。(1)若中点在圆锥曲线内,则被点平分的弦一般存在;(2)若中点在圆锥曲线外,则被点平分的弦可能不存在。
二. 求弦的中点坐标、弦中点轨迹
例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3,它与直线的交点恰为这条弦的中点,求点的坐标。
解:设弦端点、,弦的中点,则
,
又,
两式相减得
即
,即
点的坐标为。
例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
解:设弦端点、,弦的中点,则
,
又,
两式相减得
即,即
,即
由,得
点在椭圆内
它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为

例5、已知中心在原点,一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为,求椭圆的方程。
解:设椭圆的方程为,则┅┅①
设弦端点、,弦的中点,则
,