范德蒙行列式的证明及其应用.doc

摘要:介绍了阶范德蒙行列式的定义,用递推法和拉普拉斯定理两种方法证明了范德蒙行列式,;在线性变换理论、多项式理论和微积分理论中,主要用它构造线性方程组,进而应用克拉默法则或相关定理判断根的情况;在行列式计算中,,为更进一步钻研其相关性质与应用奠定了良好的基础.
关键词:范德蒙德行列式;向量空间;线性变换;应用
1引言
,在十九世纪末,其理论体系已基本形成.
1683年,,,范德蒙创造性的在深入研究行列式理论的基础上,、敢于探索的精神为大家所认可,,进行了反复的钻研,、活跃的思维、批判的科研态度给出了现代代数书中二阶子式及余子式的定义,经过推理,演绎这一系列严谨的过程,完善了行列式的概念,,皮埃尔-,思维方法发生了变化,,人们对行列式展开了单独的研究.
人们为了深入了解行列式理论的本质特征,,、,,1839年,卡塔兰发现了Jacobian行列式.
范德蒙行列式整齐、,,未来将更广泛的应用在数学各个领域.
2范德蒙行列式的定义及证明

行列式(1)
称为阶的范德蒙(Vandermonde)行列式.
由范德蒙行列式的定义,我们可以得出结论:对任意的阶范德蒙行列式等于这个数的所有可能的差的乘积.


上式
仿上做法,有
再递推下去,

已知在级行列式
中,除第行(或第列)的元素以外,行列式中其余元素全是零,则由Laplace定理得:此行列式等于与它的代数余子式的乘积,在
中,从最后一行开始,每一行减去它相邻前一行的倍,得
根据上述定理
把每列的公因子提出来,得
等式右边的第二个因子是阶行列式,用表示,则上式中
同样地,可以得到
此处是一个阶范德蒙行列式,一直继续下去,得
3范德蒙德行列式的应用

在解析几何中,直观上我们经常认为一维、二维、
时,就没有直接的现实意义,但在高等代数这门课程中,