高考递推数列题型分类归纳解析.doc

高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。
类型1
解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列满足,,求。
解:由条件知:
分别令,代入上式得个等式累加之,即
所以
,
变式:(2004,全国I,)
已知数列,且a2k=a2k-1+(-1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….
(I)求a3, a5;
(II)求{ an}的通项公式.
解:,
,即
,
…………
将以上k个式子相加,得
将代入,得
,
。
经检验也适合,
类型2
解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列满足,,求。
解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即
又,
例:已知, ,求。
解:
。
变式:(2004,全国I,理15.)已知数列{an},满足a1=1, (n≥2),则{an}的通项
解:由已知,得,用此式减去已知式,得
当时,,即,又,
,将以上n个式子相乘,得
类型3 (其中p,q均为常数,)。
解法(待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列中,,,求.
解:,令,则,,2为公比的等比数列,则,所以.
变式:(2006,重庆,文,14)
在数列中,若,则该数列的通项_______________
(key:)
变式:(2006. )
已知数列满足
(I)求数列的通项公式;
(II)若数列{bn}滿足证明:数列{bn}是等差数列;
(Ⅲ)证明:
(I)解:

是以为首项,2为公比的等比数列

即
(II)证法一:

①
②
②-①,得
即

③-④,得
即

是等差数列
证法二:同证法一,得

令得
设下面用数学归纳法证明
(1)当时,等式成立
(2)假设当时,那么

这就是说,当时,等式也成立
根据(1)和(2),可知对任何都成立
是等差数列
(III)证明:




变式:递推式:。解法:只需构造数列,消去带来的差异.
类型4 (其中p,q均为常数,)。(或,其中p,q, r均为常数) 。
解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:引入辅助数列(其中),得:再待定系数法解决。
例:已知数列中,,,求。
解:在两边乘以得:
令,则,解之得:
所以