常微分方程数值解（2）.pdf

第五章常微分方程数值解
§ Runge-Kutta法
§ Runge-Kutta法
考虑改进Euler法
yk = yk ­1 + hf (xk ­1 , yk ­1 )
h
y = y + [ f (x , y ) + f (x , y )]
k k ­1 2 k ­1 k ­1 k k
h
y = y + K + K
如果将其改成 k k ­1 ( 1 2 )
ì 2
K = f (x , y )
ï 1 k ­1 k ­1
í ----------(1)
K = f (x , y + hK )
ï 2 k k ­1 1
ï
î y0 = y(x0 )
改进Euler法是由梯形公式和Euler公式复合而成
梯形公式具有2阶精度
同样可以证明,改进Euler法也具有2阶精度
形如(1)式的求解公式称为二阶Runge-Kutta法
对于Simpson求解公式:
h h h
y = y + [ f (x , y ) + 4 f (x + , y(x + )) + f (x , y )]
k k ­1 6 k ­1 k ­1 k ­1 2 k ­1 2 k k
选取适当的显化方法,可得类似(1)
这是隐式多步法
的高阶Runge-Kutta方法
以下使用中值定理进行推导
为了同学们课后复习的方便,以下的内容将k写成n.
一、Runge-Kutta方法的导出
对于常微分方程的边值问题
ìy¢ = f (x, y) a £ x £ b
í
îy(a) = y0
y = y x
的解( ), 在区间[xn­1 , xn ]上使用微分中值定理,有
y(xn ) ­ y(xn­1 ) = y¢(ξn­1 )(xn ­ xn­1 ) ξn­1 Î(xn­1 , xn )
即 y(xn­1 + h) = y(xn­1 ) + hy¢(ξn­1 ) ----------(3)
引入记号 y(xn­1 + h) = y(xn­1 ) + hK ----------(3)
K = y¢(ξn­1 ) = f [ξn­1 , y(ξn­1 )]
yn = yn­1 + hK ----------(4)
K可以认为是y = y(x)在区间[xn­1 , xn ]上的平均斜率
y
只要使用适当的方法求出y(x)在区
y = y(x)
间[xn­1 , xn ]上平均斜率的近似值K
K
就可得到相应的Runge-Kutta方法
即(4)式
xn­1 xn x
二、低阶Runge-Kutta方法
(x)在xn­1处的斜率作为y(x)在[xn­1 , xn ]上的平均斜率K
¢
即 K = y (xn­1 ) = f [xn­1 , y(xn­1 )] 如下图
y
= f (xn­ , yn­ )
1 1 y = y(x)
则(4)式化为
K K
yn = yn­1 + hf (xn­1 , yn­1 ) ----(5)
即Euler方法
xn­1 xn x
2
由于 en (h) = O(h )
Euler方法也称为一阶Runge-Kutta方法
(x)在xn­1和xn处的斜率K1和K2的算术平均值作为
y(x)在[xn­1 , xn ]上的平均斜率
y K
K1 = y¢(xn­1 ) = f (xn­1 , yn­1 ) 2
y = y(x)
K2 = y¢(xn ) = f [xn , y(xn )]
K1 K
» f (xn , yn )
(由(5)式) = f (xn , yn­1 + hK1 )
xn­1 xn x
K + K
令 K = 1 2
2
则(4)式化为
h
y = y + (K + K )
ì n n­1 2 1 2
ï K = f (x , y )
í 1 n­1 n­1 -----------(6)
ï K2 = f (xn , yn­1 + hK1 )
ï
î y0 = y(x0 )
3
en (h) = O(h )
和(1)式一致,即改进Euler公式,也称为二阶Runge-Kutta法
三、高阶Runge-Kutta方法
h
如果[xn­1 , xn ]上增加一点x 1 = x 1 = xn­1 +
n­1+ n­
2 2 2
且以y(x)在xn­1、x 1和xn处的斜率K1、K2和K3的加权平均值
n­
2
作为在上的平均斜率
y(