李正元高等数学强化讲义.doc

第一讲极限、无穷小与连续性
一、知识网络图

二、重点考核点
这部分的重点是:
①掌握求极限的各种方法.
②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法.
③判断函数是否连续及确定间断点的类型(本质上是求极限).
④复合函数、分段函数及函数记号的运算.
§1 极限的重要性质

设,且A>B,则存在自然数N,使得当n>N时有xn>yn.
设,且存在自然数N,当n>N时有xn≥yn,则A≥B.
作为上述性质的推论,有如下的保号性质:设,且A>0,则存在自然数N,使得当n>N时有xn>,且存在自然数N,当n>N时有xn≥0,则A≥0.
:设,且A>B,则存在δ>0,使得当<δ有f(x)>g(x).设,且存在δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时f(x)≥g(x),则A≥B.

设,则数列{xn}有界,即存在M>0,使得|xn|≤M(n = 1,2,3,…).
设则函数f(x)在x = x0的某空心邻域中有界,即存在δ>0和M>0,使得当0<|x-x0|<δ时有|f(x)|≤.
§2 求极限的方法
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,则

只要设存在或是无穷大量,上面的四则运算法则可以推广到除“”,“”,“0·∞”,“∞-∞”: 1°设,则.()又B≠0,°设,当x→x0时局部有界,(即,使得时),则
.
设,当x→x0时|g(x)|局部有正下界,(即$δ>0,b>0使得0<|x - x0|<δ时|g(x)|≥b>0),则.
3°设,,则,又$δ>0使得0<|x - x0|<δ时f(x)g(x)>0,则.
4°设,x→x0时g(x)局部有界,则(无穷小量与有界变量之积为无穷小.)

设

只要设存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1∞”,“00”及“∞0”“0·∞”型未定式.
1°设= 0(0<|x-|<δ时f(x)>0),,则

2°设= A>0,A≠1, = + ∞,则
3°设= + ∞,,则
【例1】设
【分析】
【例2】设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且则必有
(A)an<bn对任意n成立. (B)对任意n成立.
(C)极限不存在. (D)不存在.
用相消法求或型极限
【例1】求
【解】作恒等变形,分子、分母同乘


.
【例2】求
【解】作恒等变形,分子、分母同除得

利用洛必达法则求极限
【例1】设f(x)在x = 0有连续导数,又

求.
【例2】求.
【例3】求.
【例4】求.
【例5】若,则.
【例6】求.
【例7】设a>0,b≠0为常数且,则(a,b) = __________.
【分析】∞-∞型极限.



因此(a,b) = .
分别求左、右极限的情形,分别求的情形
【例1】设,求.
【例2】求
利用函数极限求数列极限
求.
【例2】求.
【解1】
转化为求

【解2】用求指数型极限的一般方法.

转化为求
(等价无穷小因子替换),余下同前.
§3 无穷小和它的阶
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、极限、无穷大及其联系
(1)无穷小与无穷大的定义
(2)极限与无穷小,无穷小与无穷大的关系

其中
o(1)表示无穷小量.
在同一个极限过程中,u是无穷小量(u≠0)Þ,则是无穷小量.

(1)定义同一极限过程中,a(x),b(x)为无穷小,
设
定义设在同一极限过程中a(x),b(x)均为无穷小,a(x)为基本无穷小,若存在正数k与常数使得称b(x)是a(x)的k阶无穷小,特别有,称x→x0时b(x)是(x-x0)的k阶无穷小.
(2)重要的等价无穷小
x→0时 sinx ~ x,tanx ~ x,㏑(1 + x) ~ x,ex-1 ~ x; ax-1 ~ xlna,arcsinx ~ x,
arctanx ~ x;(1 + x)a―1 ~ ax,1―cosx ~ .
(3)等价无穷小的重要性质
在同一个极限过程中
1°若a ~ b,b ~ gÞa ~ g.
2° a ~ bÛa = b + o(b)
3°在求“”