数学竞赛辅导讲座：高斯函数.doc

数学竞赛辅导讲座:高斯函数
知识、方法、技能
函数,称为高斯函数,又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.
定义一:对任意实数是不超过的最大整数,
由、的定义不难得到如下性质:
(1)的定义域为R,值域为Z;的定义域为R,值域为
(2)对任意实数,都有.
(3)对任意实数,都有.
(4)是不减函数,即若则,其图像如图I -4-5-1;
是以1为周期的周期函数,如图I -4-5-2.
图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2
(5).其中.
(6);特别地,
(7),其中;一般有;特别地,
.
(8),其中.
【证明】(1)—(7)略.
(8)令,则,因此,.由于,
,则由(3)知,于是,
证毕.
取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论.
定理一:,且1至x之间的整数中,有个是的倍数.
【证明】因,此式说明:不大于x而是n的倍数的正整数只有这个:
定理二:在!中,质数的最高方次数是
【证明】由于是质数,因此含的方次数一定是1,2,…,,1,2,…,n中有个的倍数,有个2的倍数,…,所以
此定理说明:,,由于
+…=285+40+5=330,则2000!=7330·M,其中7 M.
定理三:(厄米特恒等式)
【证法1】引入辅助函数
因…
对一切成立,所以是一个以为周期的周期函数,而当时,直接计算知,故任意,厄米特恒等式成立.
【证法2】等式等价于消去后得到与原等式一样的等式,只不过是对,则一定存在一个使得,即,故原式右端另一方面,由知,在这批不等式的右端总有一个等于1,设. 这时,
,而,因此原式的左端是个1之和,即左端故左=右.
【评述】证法2的方法既适用于证明等式,也适用于证明不等式.,这个方法是:第一步“弃整”,把对任意实数的问题转化为的问题;第二步对分段讨论.
高斯函数在格点(又叫整点)问题研究中有重要应用. 下面给出一个定理.
定理四:设函数上连续而且非负,那么和式内的整数),有
(1)位于三角形:内的格点个数等于为整数);
(2),矩形域内的格点数等于

(3),圆域内的格点个数等于
.
(4),区域:内的格点个数等于
.
这些结论通过画图即可得到.
例1:求证:其中k为某一自然数.
(1985年第17届加拿大数学竞赛试题)
[证明]2为质数,n!中含2的方次数为
若
故
反之,若n不等于2的某个非负整数次幕,可设n=2sp,其中p>1为奇数,这时总可以找出整数t,使
由于n!.这与已知矛盾,故必要性得证.
例2:对任意