近世代数杨子胥最新版题解答.doc

近世代数
第一章基本概念
§1. 1
1.
4.
5.
近世代数题解§1. 2
2.
3.
近世代数题解§1. 3
1. 解 1)与3)是代数运算,2)不是代数运算.
2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数nn.
3. 解例如AB=E与AB=AB—A—B.
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5.
近世代数题解§1. 4
1.
2.
1)略 2)例如规定
4.

近世代数题解§1. 5
1. 解 1)是自同态映射,但非满射和单射;2)是双射,但不是自同构映射3)是自同态映射,)是双射,但非自同构映射.

3.
4.
5.
§1. 6
1.
2. 解 1);2);
3)是等价关系;4)是等价关系.
3. 解 3)每个元素是一个类,4)整个实数集作成一个类.
4.
则易知此关系不满足反身性,但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可;实际上这个例子只有数0和0符合关系,此外任何二有理数都不符合关系).
5.
1)略2)
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第二章群
§2. 1 群的定义和初步性质
一、主要内容
、n次单位根群和四元数群等例子.

1)群中左单位元也是右单位元且惟一;
2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一:
3)半群G是群方程a x=b与y a=b在G中有解(a ,b∈G).
4)有限半群作成群两个消去律成立.
二、释疑解难
有资料指出,:
1)“左左定义法”;
2)把左单位元换成有单位元,把左逆元换成右逆元(其余不动〕.简称为“右右定义法”;
3)不分左右,把单位元和逆元都规定成双边的,此简称为“双边定义法”;
4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(a ,b∈G).此简称为“方程定义法”.
“左左定义法”与“右右定义法”无甚差异,不再多说.“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立,而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的,多了一层手续(虽然这层手续一般是比较容易的);优点是:①不用再去证明左单位元也是右单位元,左逆元也是右逆元;②从群定义本身的条件直接体现了左与右的对称性.
以施行“除法运算”,即“乘法”,群的‘方程定义法”直接体现了在群中可以施行“乘法与除法”,可以施行乘法与除法运算的半群就是群.
为了开阔视野,再给出以下群的另一定义.
定义一个半群G如果满足以下条件则称为一个群:对G中任意元素a,在G中都存在元素,对G中任意元素b都有
(ab)=(ba)=b.
这个定义与前面4种定义的等价性留给读者作为练****br/>“方程定义法”中,要求方程a x=b与y a=.

若代数运算不是普通的运算(例如,数的普通加法与乘法,多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法),则在一般情况下,,,一般都不是太简单.
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根据教材推论2,,从乘法表很容易看出,因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可.
“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢?
答不可以,例如上面例2就可以说明这个问题,因为e1是左单位元,.
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1)世界万物,,左右对称又是最为常见的.
由群的定义本身可知,从代数运算到结合律,特别是左、右单位元和左、右逆元,均体现出左右对称的本质属性.
2)几何对称.
设有某一几何图形,如果我们已经找到了它的全部对称变换(即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称),则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群,(即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合),,如果一个图形存在着非平凡的对称变换,,就不能有非恒等的对