昆明理工大学线性代数第3章练习题册答案.doc

(向量线性表示及线性相关性)
一、已知向量组由向量组线性表示的表示式为
,
向量组由向量组线性表示的表示式为
,
求向量组由向量组线性表示的表示式。
解:将由线性表示的表示式,代入由线性表示的表示式中:
得由线性表示的表示式为,
二、判定下列向量组是线性相关还是线性无关?

分析:线性无关与线性相关的定义:
线性无关
线性相关不全为0
再介绍一个判别线性相关性的简便方法:均写为行向量,
构造矩阵,对A只作行初等变换,若能把A的最后一行化为零行,
则线性相关,否则线性无关。
解法一:∵,∴线性无关。
解法二: 设存在数使得,即
根据向量加法、数乘和相等的定义,可得
解这个线性方程组,求得它仅有零解x1=0,x2=0,x3=0。因此,线性无关。

解法一:∵
∴线性相关,且。
解法二: 设存在数使得,即
根据向量加法、数乘和相等的定义,可得
解这个线性方程组,求得它的一个非零解x1=3x2=-3x3=3。
因此,线性无关,且。
三、已知矩阵与向量,
(1)写出矩阵A的列向量组与行向量组;
(2)β能否用A的列向量组线性表示? βT能否用A的行向量组线性表示?
若能线性表示,则写出表达式。
分析:β能否用向量组α1,α2,…,αm线性表示的含义指的是关系式
是否成立,也就是能否找到满足上式的x1,x2,…,xm。
若将β,α1,α2,…,αm的分量代入上式,得到未知数x1,x2,…,xm的线性方程组。
当方程组有解时,β能用α1,α2,…,αm线性表示;
当方程组无解时,β不能用α1,α2,…,αm线性表示。
再介绍一个判别β能否用向量组α1,α2,…,αm线性表示的简便方法:
构造矩阵,对B只作行初等变换(但不作B的最后一行与其它各行的对换),若能把B的最后一行(即β所在的行)化为零行,则β能用α1,α2,…,αm线性表示;若不能把B的最后一行化为零行,则β不能用α1,α2,…,αm线性表示。
(1)解: A的列向量组:
行向量组:
(2)解法一: ∵
∴β不能用A的行向量组γ1,γ2,γ3线性表示。
又∵
(∴线性相关,且。)
∴β能用A的列向量组线性表示,且。
(或∵
∴β能用A的列向量组线性表示,且。)
解法二:设存在数使得,即
根据向量加法、数乘和相等的定义,可得
解这个线性方程组,求得它的一个非零解x1=x2=x3=1。
因此,β能用A的列向量组线性表示,且。
又设存在数使得,即
根据向量加法、数乘和相等的定义,可得
这个线性方程组无解。因此,β不能用A的行向量组γ1,γ2,γ3线性表示。
四、设线性无关,而线性相关,试证:
(1)可由线性表示; (2)不能由线性表示。
分析:(书P55)线性相关与线性表示的关系:
相线相关中至少有一个向量可由其余的向量线性表示。
(书P56)线性相关和线性无关性质:
(1)若,线性无关,则去掉后,剩下的也线性无关。
(2)若线性无关,,线性相关,则可由线性表示。
证明:(1)∵线性无关, ∴,
又∵线性相关, ∴可由线性表示。
因此,可由线性表示。
(2)(反证法)假设能由线性表示,
∵(1)中已证明可由线性表示,
∴最终可由线性表示,因而线性相关,与假设矛盾。
故不能由线性表示。
五、若向量组线性相关,但其中任意三个向量都线性无关,
证明必存在一组全不为零的数,使得.
证明:(反证法)假设不存在全不为零的数,使得.
∵线性相关,
∴存在一组不全为零的数,使得,不妨设
∵由假设知,使成立的至少有一个为0,不妨设
∴存在一组不全为零的数,使得
∴线性相关,与“中任意三个向量都线性无关”矛盾。
故必存在一组全不为零的数,使得.
六、已知A是n阶可逆矩阵, 是n维线性无关的列向量,证明线性无关.
分析:线性无关(书P58)
可逆矩阵乘以某矩阵,不改变该矩阵的秩。(矩阵的秩的性质(7)书P49)
证明:构造矩阵, 则
∵线性无关, ∴
∵,A是可逆矩阵。∴,即
∴线性无关。
(向量组的秩、最大无关组及向量组的等价)
一、求下列向量组的秩及一个最大无关组,并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示:
分析:计算向量组的秩及最大无关组的方法:均写为行向量,
构造矩阵0对A只作行初等变换,把A化为阶梯形矩阵。
阶梯形矩阵中非零行行数,
阶梯形矩阵中非零行对应的向量就是的一个最大无关组,
阶梯形矩阵中零行给出了用最大无关组表示其余向量的线性组合。
解:,A为阶梯形矩阵,∴,最大无关组为
解:
∴,,最大无关组为
二、设向量组的秩为2,求a,b.
解:
∵, ∴阶梯形矩阵有且仅有2