2003年考研数学二试题及答案.doc

2003年考研数学(二)真题评注
填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
(1) 若时, 与是等价无穷小,则a= .
(2) 设函数y=f(x)由方程所确定,则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是.
(3) 的麦克劳林公式中项的系数是.
(4) 设曲线的极坐标方程为,则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.
(5) 设为3维列向量,是的转置. 若,则
= .
(6) 设三阶方阵A,B满足,其中E为三阶单位矩阵,若,则.
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设均为非负数列,且,,,则必有
(A) 对任意n成立. (B) 对任意n成立.
(C) 极限不存在. (D) 极限不存在. [ ]
(2)设, 则极限等于
(A) . (B) .
(C) . (D) . [ ]
(3)已知是微分方程的解,则的表达式为
(A) (B)
(C) (D) [ ]
(4)设函数f(x)在内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有
一个极小值点和两个极大值点.
两个极小值点和一个极大值点.
两个极小值点和两个极大值点.
(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]
y

O x

(5)设,, 则
(A) (B)
(C) (D) [ ]
(6)设向量组I:可由向量组II:线性表示,则
(A) 当时,向量组II必线性相关. (B) 当时,向量组II必线性相关.
(C) 当时,向量组I必线性相关. (D) 当时,向量组I必线性相关.
[ ]
三、(本题满分10分)
设函数
问a为何值时,f(x)在x=0处连续;a为何值时,x=0是f(x)的可去间断点?
四、(本题满分9分)
设函数y=y(x)由参数方程所确定,求
五、(本题满分9分)
计算不定积分
六、(本题满分12分)
设函数y=y(x)在内具有二阶导数,且是y=y(x)的反函数.
(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程;
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解.
七、(本题满分12分)
讨论曲线与的交点个数.
八、(本题满分12分)
设位于第一象限的曲线y=f(x)过点,其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q,且线段PQ被x轴平分.
求曲线 y=f(x)的方程;
已知曲线y=sinx在上的弧长为,试用表示曲线y=f(x)的弧长s.
九、(本题满分10分)
有一平底容器,其内侧壁是由曲线绕y
轴旋转而成的旋转曲面(如图),容器的底面圆的半径为2 m.
根据设计要求,当以的速率向容器内注入液体时,
液面的面积将以的速率均匀扩大(假设注入液体前,
容器内无液体).
根据t时刻液面的面积,写出t与之间的关系式;
求曲线的方程.
(注:m表示长度单位米,min表示时间单位分.)
十、(本题满分10分)
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且若极限存在,证明:
在(a,b)内f(x)>0;
在(a,b)内存在点,使
;
(3) 在(a,b) 内存在与(2)中相异的点,使

十一、(本题满分10分)
若矩阵相似于对角阵,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P使

十二、(本题满分8分)
已知平面上三条不同直线的方程分别为
,
,
.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为
1. 【分析】根据等价无穷小量的定义,相当于已知,反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.
【详解】当时,,.
于是,根据题设有,故a=-4.
【评注】本题属常规题型,完全类似例题见《数学复****指南》 【】.
2.. 【分析】先求出在点(1,1)处的导数,然后利用点斜式写出切线方程即可.
【详解】等式两边直接对x求导,得
,
将x=1,y=1代入上式,有故过点(1,1)处的切线方程为
,即
【评注】本题属常规题型,综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点,类似例题见《数学复****指南》 【】和【】.
3.. 【分析】本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值,则麦克劳林公式中项的系数是
【详解】因为,,,于是有
,故麦克劳林公式中项的系数是
【评注】本题属常规题型,在一般教材中都可找到答案.
4.. 【分析】利用极坐标下的面积计算公式即可.
【详解】所求面积为

=.
【评注