1999考研数二真题与解析.doc

1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分。把答案填在题中横线上。)
(1) 曲线,在点处的法线方程为
(2) 设函数由方程确定,则
(3)
(4) 函数在区间上的平均值为
(5) 微分方程的通解为
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分。每小题给出得四个选项中,只有一个是符合题目要求的,把所选项前的字母填在提后的括号内。)
(1) 设,其中是有界函数,则在处( )
(A) 极限不存在.
(B) 极限存在,但不连续.
(C) 连续,但不可导.
(D) 可导.
(2) 设,则当时是的( )
(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小
(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小
(3) 设是连续函数,是的原函数,则( )
(A) 当是奇函数时,必是偶函数.
(B) 当是偶函数时,必是奇函数.
(C) 当是周期函数时,必是周期函数.
(D) 当是单调增函数时,必是单调增函数.
(4) “对任意给定的,总存在正整数,当时,恒有”是数列
收敛于的( )
(A)充分条件但非必要条件. (B)必要条件但非充分条件.
(C)充分必要条件. (D)既非充分条件又非必要条件.
(5)记行列式为,则方程的根的个数为( )
(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.
三、(本题满分5分)
求.
四、(本题满分6分)
计算.
五、(本题满分7分)
求初值问题的解.
六、(本题满分7分)
为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口
见图,已知井深30m,抓斗自重, 缆绳每米重,抓斗抓
起的污泥重,提升速度为,在提升过程中,污泥以
的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重
力需作多少焦耳的功?(说明:①其中分别表示
米,牛顿,秒,焦耳;②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不
计.)
七、(本题满分8分)
已知函数,求
(1)函数的增减区间及极值;
(2)函数图形的凹凸区间及拐点
(3)函数图形的渐近线.
八、(本题满分8分)
设函数在闭区间上具有三阶连续导数,且,,,证明:在开区间内至少存在一点,使.
九、(本题满分9分)
设函数二阶可导,且,.过曲线上任意一点作该曲线的切线及轴的垂线,上述两直线与轴所围成的三角形的面积记为,区间上以为曲边的曲边梯形面积记为,并设恒为1,求此曲线的方程.
十、(本题满分6分)
设是区间上单调减少且非负的连续函数,
,证明数列的极限存在.
十一、(本题满分8分)
设矩阵,矩阵满足,其中是的伴随矩阵,求矩阵.
十二、(本题满分5分)
设向量组,,,
(1)为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量用线性表出;
(2)为何值时,该向量组线性相关?并此时求出它的秩和一个极大线性无关组.
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解析
一、填空题
(1)【答案】
【详解】点对应,则曲线在点的切线斜率为
,
把代入得,所以改点处法线斜率为,故所求法线方程为.
(2)【答案】1
【详解】是有方程所确定,所以当时,.
对方程两边非别对求导,得
,
把和代入得
(3)【答案】
【详解】通过变换,将积分转化为常见积分,即
(4)【答案】
【详解】按照平均值的定义有
,
作变换令,则,所以
(5)【答案】其中为任意常数.
【分析】先求出对应齐次方程的通解,再求出原方程的一个特解.
【详解】原方程对应齐次方程的特征方程为:解得,故的通解为
由于非齐次项为因此原方程的特解可设为代入原方程可求得,故所求通解为
二、选择题
(1)【答案】( D )
【详解】由于可导必连续,连续则极限必存在,可以从函数可导性入手.
因为
从而,存在,且,故正确选项为(D).
(2)【答案】( C )
【详解】当有,
所以当时是同阶但不等价的无穷小.
(3)【答案】( A )
【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.
的原函数可以表示为于是
当为奇函数时,,从而有
即 F(x)为偶函数. 故(A)为正确选项.
(B)、(C)、(D)可分别举反例如下:
是偶函数,但其原函数不是奇函数,可排除(B);
是周期函数,但其原函数不是周期函数,可排除(C);
在区间内是单调增函数,但其原函数在区间内非单调增函数,可排除(D).
(4)【答案】( C )
【详解】
【方法1】“必要性”:数列极限的定义“对于任意给定的,存在,使得当时恒有”. 由该定义可以直接推出题中所述,即必要性;“充分性”:对于任意给定的
,取,这时,由已知,对于此存在,使得当时,恒有,现取