高等数学(下)无穷级数.ppt

无穷级数
无穷级数
数项级数
幂级数
傅氏级数(数一)
第十一章
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常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
二、无穷级数的基本性质
三、级数收敛的必要条件
第一节
第十一章
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一、常数项级数的概念
引例用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正
边形,
这个和逼近于圆的面积 A .
设 a0 表示
即
内接正三角形面积,
ak 表示边数
增加时增加的面积,
则圆内接正
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定义:
给定一个数列
将各项依
即
称上式为无穷级数,
其中第 n 项
叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
称为级数的部分和.
次相加, 简记为
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当级数收敛时, 称差值
为级数的余项.
则称无穷级数发散.
显然
收敛,
则称无穷级数
并称 S 为级数的和,
记作
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例1. 讨论等比级数
(又称几何级数)
( q 称为公比) 的敛散性.
解: 1) 若
从而
因此级数收敛,
从而
则部分和
因此级数发散.
其和为
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2). 若
因此级数发散;
因此
n 为奇数
n 为偶数
从而
综合 1)、2)可知,
时, 等比级数收敛;
时, 等比级数发散.
则
级数成为
不存在, 因此级数发散.
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例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
所以级数(1) 发散;
技巧:
利用“拆项相消”求和
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(2)
所以级数(2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用“拆项相消”求和
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二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数
收敛于 S ,
则各项
乘以常数 c 所得级数
也收敛,
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.
即
其和为 c S .
性质2. 设有两个收敛级数
则级数
也收敛, 其和为
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