(有答案)常微分方程模拟题(浙江师范大学).doc

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1. 方程的通解是①;
2. 是全微分方程(恰当方程)的充要条件②;
3. 方程的通解是③;
4. 方程的特解可设为④.
· 参考答案
1.  2.
3.    4.

二、是非判断题: (每小题2分,共12分)
1. 如果是微分方程组的复值解(这里、、都是实向量函数,是实矩阵函数),
那么是微分方程组的解;
2. 方程(是实数)的通解是;
3. 如果存在定负函数V(X),使得V通过方程组其中)的全导数定正,那么这个方程组的零解渐近稳定;
4. 方程(其中a(x),b(x),c(x)连续)可以有三个线性无关的解;
5. 如果、均为方程组的基解矩阵,那么必存在可逆常数矩阵C使得成立;
6. 方程=2 满足初始条件:x=0时y=0的解只有y=0 .
· 参考答案
1. ×, 2. ×, 3. √, 4. √, 5. √, 6. ×.
三、(24分)求解下列各方程:
1. =; 2. =;
3. ; 4. .
· 参考答案
1. =
通解为或者写成;
2. == = =
==,
即,通解为;
3. ,设,则==,
所以,即得通解;
4. x()2-2y( )+x=0 ,设,则,两边关于求导得
或. 由得,
所以通解是,由得奇解.
四、(20分)求下列各方程的通解:
1. ;
2. .
· 参考答案
1. 的通解是,设原方程的特解是,
将代入原方程得,
所以有,
所以原方程的通解是;
注:如果用常数变易法或利用辅助方程求解,则参照此解法给分.
2. 设则原方程化为,(其中),
即,此方程通解是,所以原方程的通解是.
五、(14分)解方程组:
· 参考答案
由=0 得,所以,特征值是
.
对于,设(6分) 代入方程组可得
记,,则.
对于,可求得一特征向量.
因此,原方程的通解是,或者写成.
六、(12分)已知微分方程,其中
g(x)=
 
试求一连续函数y=y(x),满足条件y(0)=0,且在区间内满足上述方程.
· 参考答案
,,所以,.由得;
当时,,所以,.因为y(x)在x=1连续,所以.
所以,所求函数是.
七、(10分)判断下列方程组的零解的稳定性:
1.
2.
· 参考答案
1. 一次近似方程是,
特征方程,,.
因为,特征根的实部都,
所以原方程组的零解是渐近稳定的.
2. 构造Lyapunov函数(定正),
则定负,
因此,原方程组的零解是渐近稳定的.
     模拟试题2       
:(第1小题4分,其它每小题3分,共25分)
(非) 线性方程.
(连续)是全微分方程,
则满足关系.
.
(p(x),q(x)∈C(a,b)), 则其任一解的存在区间是
.
,只需作变换,即可将其化为常系数线性方程.
,其由解所构成的Wronski行列式必为.
,若常系数矩阵A的特征根的实部都是负的,
则方程组的任一解当∞时.
.
· 参考答案
1. 三,非 2 . , 4.(a,b), 5.,
, 7. 趋于零, 8. .
:(每小题6分,共42分)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
· 参考答案
1. (6分)
2. ,解为
3. 积分因子为,解为(6分);
4. 设(1分),令,解为(6分);
5. (I)当,;
(II)当,不防设a>0,则方程的两个基本解为,易求得一个特解
所以此时方程的解为
6. x″+x=0的通解是(2分),
设原方程的特解是(4分),
将代入原方程得,
所以有,
所以原方程的通解是
注:如果用常数变易法或利用辅助方程求解,则参照此解法给分
7. ,设,则(2分).
所以,原方程化为
由得,因此得(6分)
三.(本题11分)
?
=上述方程组的基解矩阵.
· 参考答案
1. 称是的基解矩阵,如果满足
(a) (b) .(4分)
2. 令,可求得(7分)
对于由可取,
对于,由可取
对于,由可取
因此基解矩阵为.(11分)
:(本题12分)
研究方程
当n=1, 方程是什么类型的方程?并求解之。
当n=2, 方程是什么类型的方程?通过观察能否直接求出其解?
如