材料0901班杨东麟0604090113(Page41).doc

1、编程实现以下科学计算算法,并举一例应用之。(参考书籍《精
通MALAB科学计算》,王正林等著,电子工业出版社,2009
年)
“Gauss-Seidel 迭代法线性方程组求解”
(1)迭代解法的基本思想:
根据给定方程组,设计出一个迭代公式,构造一数组的序列xi0,代入迭代公式,计算出xi1,在代入迭代公式,经过k次迭代运算后得到xik,若xik收敛于某一极限数组xi,则xi就是方程组的近似解。
迭代过程本质上就是计算极限的过程,一般不能得到精确解。但迭代的优点是程序简单,适合大型方程组求解,然而,缺点是要判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。
(2)算法说明:
Gauss-Seidel迭代法与简单迭代法类似,只是迭代公式有所改进。
简单迭代法:;
Gauss-Seidel迭代法:;
设方程组Ax=b,其中A和b中的元素都为常数,且A为非奇异,则A分可写成:A=D-L-U。
其中D上网意义同Jacobi迭代法,L为下三角矩阵,U为上三角矩阵,他的迭代公式为:
在MATLAB中编程实现的Gauss-Seidel迭代法函数为:gauseidel。
功能:用Gauss-Seidel迭代求线性方程组ax=b的解。
调用格式:[x,n]=gauseidel(A,b,x0,eps,M).
其中,A为线性方程组的系数矩阵;
b为线性方程组中的常数向量;
x0为迭代初始向量;
eps为解的精度控制(此参数可选);
M为迭代步数控制(此参数可选);
x为线性方程组的解;
n为求出所需精度的解实际迭代步数。
(3)Gauss-Seidel迭代法的MATLAB程序代码如下:
function [x,n]=gauseidel(A,b,x0,eps,M)
%采用Gauss-Seidel迭代法求线性方程组Ax=b的解
%线性方程组的系数矩阵:A
%线性方程组的常数向量:b
%迭代初始向量:x0
%解的精度控制:eps
%迭代步数控制:M
%线性方程组的解:x
%求出所需精度的解实际的迭代步数:n
if nargin ==3
eps=-6; %eps表示迭代精度
M=200; %M表示迭代步数的限制值
elseif nargin ==4
M=200;
elseif nargin <3
error
return;
end
D=diag(diag(A));
L=-tril(A,-1);
U=-triu(A,1);
G=(D-L)\U;
f=(D-L)\b;
x=G*x0+f;
n=1;
%迭代过程
while norm(x-x0)>eps
x0=x;
x=G*x0+f;
n=n+1; %n为最终求出解时的迭代步数
if n>=M
disp('Warning:迭代次数太多,可能不收敛!');
end
end
(4)进行实例分析:
>>A=[ ; ; ];
>> b=[1 0 1]';
>> x0=zeros(3,1);
>> [x,n]=gauseidel(A,b,x0)
x = %输出结果

-

n = 11 %输出迭代次数n
(5)运行图以即流程图:
①运行图:
②流程图:
开始
最大步数M为200
读取数据
否
nargin==3?
是
eps=10--6 ,最大步数M=200
n=1
x=G*x0+f
否
x0=x;
n=n+1
norm(x-x0)>eps?
是
是
n>=200?
否
输出结果
Warning:迭代次数太多,可能不收敛
结束
②例题流程图:
输入系数矩阵A
输入常数向量b
和初始向量x0
[x,n]=gauseidel(A,b,x0)
输出计算结果
输出迭代次数
一、分析电路:(RC充电电路)
当t<0时,开关K位于“1”,电路以达到平衡Uc(0+)=Uc(0-)=-12V, iR2(0-)=3A;
当t>0时,ic(0+)=-Uc(0+)/(R2*R3/(R2+R3)),达到稳态后,电容中将无电流icf=0A,电流源的全部电流将在两个电阻之间分配,保证端电压相同(也就是电容上的终电压)。即:UR3= Ucf=12V。
由一阶响应电路可用三要素法得到电压公式:,时间常数。,且Req=12*6/18=4,=4(s)。同时,以相同的方法得到电流公式:,=4(s)。
可以得到电阻R2的表达式:。
二、源程序设计:
>> r1=3;
>> r2=12;