求向量组的秩与极大无关组(修改整理).doc

求向量组的秩与最大无关组
对于具体给出的向量组,求秩与最大无关组
1、求向量组的秩(即矩阵的秩)的方法:为阶梯形矩阵
【定理】矩阵的行秩等于其列秩,且等于矩阵的秩.(三秩相等)
①把向量组的向量作为矩阵的列(或行)向量组成矩阵A;
②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B;
③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩.
【例1】求下列向量组a1=(1, 2, 3, 4),a2 =( 2, 3, 4, 5),a3 =(3, 4, 5, 6)的秩.
解1:以a1,a2,a3为列向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.
因为阶梯形矩阵的列秩为2,所以向量组的秩为2.
解2:以a1,a2,a3为行向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为
阶梯形矩阵后可求.
因为阶梯形矩阵的行秩为2,所以向量组的秩为2.
2、求向量组的最大线性无关组的方法
方法1 逐个选录法
给定一个非零向量组A:a1, a2,…, an
①设a1¹ 0,则a1线性相关,保留a1
②加入a2,若a2与 a1线性相关,去掉a2;若a2与 a1线性无关,保留a1 ,a2;
③依次进行下去,最后求出的向量组就是所求的最大无关组
【例2】求向量组:的最大无关组
解:因为a1非零,故保留a1
取a2,因为a1与a2线性无关,故保留a1,a2
取a3,易得a3=2a1+a2,故a1,a2 ,a3线性相关。
所以最大无关组为a1,a2
方法2 初等变换法
【定理】矩阵A经初等行变换化为B,则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性.
证明从略,下面通过例子验证结论成立.
向量组:a1=(1,2,3)T, a2=(-1,2,0)T, a3=(1,6,6)T
由上可得,求向量组的最大线性无关组的方法:
(1)列向量行变换
①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A;
②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B;
③A中的与B的每阶梯首列对应的向量组,即为最大无关组.
【例3】求向量组:a1=(2,1,3,-1)T, a2=(3,-1,2,0)T, a3=(1,3,4,-2)T, a4=(4,-3,1,1)T 的秩和一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。
解以a1,a2,a3,a4为列构造矩阵A, 并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩:
知r(A)=2, 故向量组的最大无关组含2个向量
而两个非零行的非零首元分别在第1, 2列, 故a1,a2为向量组的一个最大无关组
事实上, 知r(a1,a2)=2, 故a1,a2 线性无关
为把a3,a4用a1,a2线性表示, 把A变成行最简形矩阵
记矩阵B=(b1, b2, b3, b4),因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性,因此向量a1,a2,a3,a4与向量b1, b2, b3, b4之间有相同的线性关系。
因此a3=2a1-a2, a4=-a1+2a2
【例4】求下列向量组的一个最大无关组,其中:
解:以给定向量为列向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为阶梯形矩阵B
再利用初等行变换,将B再化成行最简形矩阵C.
初等矩阵A, B, C
初等变换行作为
求秩无关 B 中见
线性无关 C 做陪
用最大线性无关组表