常见的几个函数不等式及其应用.doc

武汉市教育科学研究院孔峰
在近几年的高考中,无论是国家考试中心的数学命题,还是一些独立命题省市的数学命题,有一些函数不等式在命题中出现的频率很高,它们在函数的性质的应用中和函数不等式的证明中发挥着很重要的作用,下面分别介绍这些函数不等式.
一、函数不等式的介绍
(1) ①
证明:令,则.
当时,;当时,.
所以在时取得极大值,故,
所以.
令,则.
当时,;当时,.
所以在时取得极小值,故,
.
综上可知,.
变式:, ②
. ③
(2) ④
⑤
证明:令,则.
所以函数在单调递减.
所以,当时,;当时,.
所以,不等式④,⑤成立.
变式: ⑥
(3) ⑦
⑧
证明:令,则.
所以函数在单调递增.
当时,;当时,.
所以,不等式⑦,⑧成立.
(4) ⑨
证明:令,则,
而,
由⑥式知,,
所以在上为减函数,.
由⑦式知.
综上可知,不等式⑨成立.
(5) ⑩
证明:令,则.
故.
所以,不等式⑩成立.
变式: ⑪
利用上述类似构造函数方法,还可以得到以下一些重要不等式:
(6)贝努尼不等式:当时,
, ⑫
⑬
(7) ⑭
二、常见的函数不等的作用
利用上述介绍的函数不等式,无论是去研究函数性质,。
(1)求函数的单调区间或研究函数的单调性,求函数的极值或最值
例1 (2008年湖南卷,理21)已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若不等式对任意的都成立,求的最大值.
解:(Ⅰ)对求导数,得
.
由不等式④,⑤可知:
当时,,有,;
当时,,有,.
因此,当时,为减函数;当时,为增函数.
(Ⅱ)由可知,,所以.
记,则,.
由不等式⑨,可知,
.
所以,的最大值为.
(2)利用常用不等式求参数的取值范围
例2 (2010年全国卷,理22)设.
(Ⅰ)证明:时,;
(Ⅱ)设时,,求的取值范围.
解:(Ⅰ)利用分析法,结合①式可以证明.
(Ⅱ)因为在时恒成立,
所以在时恒成立,则.
另一方面,由,得.
令,由知.
.
由不等式⑦可知,
所以时,.
又由导数定义可知,
所以,故.
综上,所求的取值范围为.
例3 (2014年湖南卷,理22)已知常数,.
(Ⅰ)讨论在区间上单调性;
(Ⅱ)若存在两个极值点,且,求的取值范围.
解:(Ⅰ).
因为,所以当,即时,恒成立,则函数在区间上单调递增.
当时,由,,在单调递增.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,时才可能出现两个极值点,且
,.
而

,此时.
由不等式③可知:
要使恒成立,必需,从而.
所以,所求的取值范围为.
(3)利用常见不等式比较大小
例4 (2013年陕西卷,理21)已知函数,.
(Ⅰ) 若直线与的反函数的图像相切,求实数k的值;
(Ⅱ) 设,讨论曲线与曲线公共点的个数;
(Ⅲ) 设,比较与的大小,并说明理由.
解:(Ⅰ) 的反函数.
设直线与相切与点,
则解之得.
(Ⅱ) 由,得.
令,则.
当时,;当时,.
所以是极小值点.
从而可知,在时无交点;在时有一个交点;在时