基本初等函数知识点.doc

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(一)根式的概念
1、如果,且,, 的次方根用符号表示;当是偶数时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号表示;0的次方根是0;负数没有次方根.
2、式子叫做根式,这里叫做根指数,,为任意实数;当为偶数时,.
3、根式的性质:;当为奇数时,;当为偶数时, .
(二)分数指数幂的概念
1、正数的正分数指数幂的意义是:.
2、正数的负分数指数幂的意义是:.
注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.
3、a0=1 (a ¹0) a-p = 1/ap (a¹0;pÎN*)
4、指数幂的运算性质

5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。
二、指数函数的概念
一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意: 指数函数的定义是一个形式定义;
注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1.
三、指数函数的图象和性质
函数名称
指数函数
定义
0
1
函数且叫做指数函数
图象
0
1
定义域
值域
(0,+∞)
过定点
图象过定点(0,1),即当x=0时,y=1.
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
y>1(x>0),
y=1(x=0),
0<y<1(x<0)
y>1(x<0),
y=1(x=0),
0<y<1(x>0)
变化对
图象影响
在第一象限内,越大图象越高,越靠近y轴;
在第二象限内,越大图象越低,越靠近x轴.
在第一象限内,越小图象越高,越靠近y轴;
在第二象限内,越小图象越低,越靠近x轴.
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,值域是或
(2)若,则;取遍所有正数当且仅当
(3)对于指数函数,总有
(4)当时,若,则
四、底数的平移
对于任何一个有意义的指数函数:
在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。
即“上加下减,左加右减”
五、幂的大小比较
常用方法(1)比差(商)法:
(2)函数单调性法;
(3)中间值法:要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
注意:
(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。
例如:y1=34,y2=35
(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图像的变化规律来判断。
例如:y1=(1/2)4,y2=34,
(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较
①对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、1的大小)进行分组,再比较各组数的大小即可。
②在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小),就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向时,ax大于1,异向时ax小于1