平方差公式与完全平方公式知识点总结.doc

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(a+b)(a-b)=a2-b2
归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式:
①位置变化,(x+y)(-y+x)=x2-y2
②符号变化,(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2
③指数变化,(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4
④系数变化,(2a+b)(2a-b)=4a2-b2
⑤换式变化,[xy+(z+m)][xy-(z+m)]
=(xy)2-(z+m)2
=x2y2-(z+m)(z+m)
=x2y2-(z2+zm+zm+m2)
=x2y2-z2-2zm-m2
⑥增项变化,(x-y+z)(x-y-z)
=(x-y)2-z2
=(x-y)(x-y)-z2
=x2-xy-xy+y2-z2
=x2-2xy+y2-z2
⑦连用公式变化,(x+y)(x-y)(x2+y2)
=(x2-y2)(x2+y2)
=x4-y4
⑧逆用公式变化,(x-y+z)2-(x+y-z)2
=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]
=2x(-2y+2z)
=-4xy+4xz
完全平方公式
活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例,经过变形或重新组合,可得如下几个比较有用的派生公式:
灵活运用这些公式,往往可以处理一些特殊的计算问题,培养综合运用知识的能力。
,,求的值。
,,求的值。
解:∵
∴∴=
∵, ∴
例3 已知,求的值。
解:
三、学****乘法公式应注意的问题
(一)、注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”.
例1 计算(-2x2-5)(2x2-5)
分析:本题两个因式中“-5”相同,“2x2”符号相反,因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a,而“2x2”则是公式中的b.

例2 计算(-a2+4b)2
分析:运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时,“-a2”就是公式中的a,“4b”就是公式中的b;若将题目变形为(4b-a2)2时,则“4b”是公式中的a,而“a2”就是公式中的b.(解略)

(二)、注意为使用公式创造条件
例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
分析:粗看不能运用公式计算,但注意观察,两个因式中的“2x”、“5”两项同号,“y”、“z”两项异号,因而,可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式.


例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).
分析:此题乍看无公式可用,“硬乘”太繁,但若添上一项(2-1),则可运用公式,使问题化繁为简.


(三)、注意公式的推广
计算多项式的平方,由(a+b)2=a2+2ab+b2,可推广得到:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
可叙述为:多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积的2倍.
例6 计算(2x+y-3)2
解:原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)
=4x2+y2+9+4xy-12x-6y.

(四)、注意公式的变换,灵活运用变形公式
例7 已知:x+2y=7,xy=6,求(x-2y)2的值.


例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2
分析:此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算,但逆用完全平方公式,则运算更为简便.


四、怎样熟练运用公式:
熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算,此时要根据公式特征,合理调整变化,使其满足公式特点.
常见的几种变化是:
1、位置变化如(3x+5y)(5y-3x)交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了.
2、符号变化如(-2m-7n)(2m-7n)变为-(2m+7n)(2m-7n)后就可用平方差公式求解了(思考:不变或不这样变,可以吗?)
3、数字变化如98×102,992,912等分别变为(100-2)(100+2),(100-1)2,(90+1)2后就能够用乘法公式加以解答了.
4、系数变化如(4m+)(2m-)变为2(2m+)(2m-)后即可用平方差公式进行计算了.
(四)、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解,(a2+1)2·(a2-1)2,若分别展开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方法则后再进一步计算,=[(a2+1)(a2-1)]2=(a4-1)2=a8-2a4+1.
对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的,还要注