《数列综合》专题.doc

《数列综合》专题
★★★高考在考什么★★★【考题回放】
,且曲线的顶点是,则等于( B )
D.
,若,
3. 在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于
A. B. C. D.
【解析】因数列为等比,则,因数列也是等比数列,则
即,所以,故选择答案C。
, 都是的含两个元素的子集,且满足:对任意的,(,),都有(表示两个数中的较小者),则的最大值是( B )

5. 已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an
解析:解: ∵10Sn=an2+5an+6, ①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),②
由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0
∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2).
当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时,a3=12, a15=72, 有a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3.
,无穷等比数列
各项的和为.
(I)求数列的首项和公比;
(II)对给定的,设是首项为,公差为的等差数列,求的前10项之和;
解: (Ⅰ)依题意可知,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差,
,即数列的前10项之和为155.
★★★高考要考什么★★★
本章主要涉及等差(比)数列的定义、通项公式、前n项和及其性质,数列的极限、,是历年的重点内容之一,近几年考查的力度有所增加,体现高考是以能力立意命题的原则.
高考对本专题考查比较全面、深刻,,呈现“小、巧、活”的特点;大题中往往把等差(比)数列与函数、方程与不等式,解析几何等知识结合,考查基础知识、思想方法的运用,对思维能力要求较高,注重试题的综合性,注意分类讨论.
高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在
一起,再加以导数和向量等新增内容,:
(1)由递推公式给出数列,与其他知识交汇,考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力.
(2)给出Sn与an的关系,求通项等,考查等价转化的数学思想与解决问题能力.
(3)以函数、解析几何的知识为载体,或定义新数列,考查在新情境下知识的迁移能力.
理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用,注意不等式型的递推数列.
★★★突破重难点★★★
【范例1】已知数列,满足,,且
()
(I)令,求数列的通项公式;
(II)求数列的通项公式及前项和公式.
解:(I)由题设得,即()
易知是首项为,公差为2的等差数列,通项公式为.
(II)解:由题设得,令,则.
易知是首项为,公比为的等比数列,通项公式为. 由解得
, 求和得.
【变式】在等差数列中,,前项和满足条件,
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记,求数列的前项和。
解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,由得:,所以,即,又=,所以。
(Ⅱ)由,得。所以,
当时,;
当时,
,
即。
(理)已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上。
(Ⅰ)、求数列的通项公式;
(Ⅱ)、设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m;
解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.
又因为点均在函数的图像上,所以=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-5.
当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 ()
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知==,
故Tn===(1-).
因此,要使(1-)<()成立的m,必须且仅须满足≤,即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10.
【范例2】已知函数,是方程f(x)=0的两个根,
是f(x)的导数;设,(n=1,2,……)
(1)求的值;
(2)证明:对任意的正整数n,都有>a;
(3)记(n=1,2,……),求数列{bn}的前n项和Sn。
解析:(1)∵,是方程f(x