2014年同方专转本高数模拟试卷1.doc

江苏省2014年普通高校“专转本”统一考试模拟试(一)
高等数学
注意事项:
。
,写在草稿纸上无效。
,满分150分,考试时间120分钟。
选择题(本大题共6小题,每小题4分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的,请把所选项前得字母填在题后的括号内)。
1. 已知存在,则常数的值分别为( )
A. B. C. D.
2. 函数的可去间断点是( )
A. B. C. D.
,下列无穷小中与不等价的是( )
A. B. C. D.
,则( )
A. B. C. D.
( )
A. B. C. D.
( )
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题6分,共24分,请把正确答案的结果添在划线上)。
7、若,
8、设是连续函数,,则
9、以为顶点的三角形面积=
10、设函数由方程所确定,则
11、定积分
12、幂级数的收敛域为
三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)。
13、求极限
14、设函数由方程所确定,求
15、求不定积分
16、计算定积分
17、求通过平面和平面的交线及点的平面方程。
18、设,其中具有二阶连续偏导数,求。
19、计算二重积分,其中是由以及轴所围成的平面闭区域。
20、已知是二阶常系数非齐次线性方程的一个特解,试确定常数的值,并求该方程组的通解。
四、综合题
21、设函数
(1)求函数的单调区间、极值。
(2)求函数图形的凹凸区间、拐点及渐进线方程。
22、设直线与抛物线所围成的图形面积为,它们与直线所围成的平面图形面积为
(1)试确定的值,使达到最小,并求出最小值。
(2)求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积。
五、证明题
23、证明:当时,
24、设,其中为有界函数,证明:在处连续且可导。
江苏省2014年普通高校“专转本”统一考试模拟试(一)解析
一、单项选择题
1. 已知存在,则常数的值分别为( )
A. B. C. D.
解:该题考察等价无穷小阶的比较,求极限等概念与方法。
因为这表明是时的一阶无穷小;
存在,可推出,同阶无穷小量或是高阶无穷小量的商式极限才有可能存在,这是无穷小量阶的比较理论。
由可得,解得。
故答案选择B
2. 函数的可去间断点是( )
A. B. C. D.
解:求函数间断点的方法首先需要考察函数的定义域,因为初等函数在定义域内都是连续函数,只有定义域的分段点才有可能是间断点。
本题的间断点有可能为,下面逐个考察
当时,因函数表达式中含有绝对值,从而必须分左右极限加以讨论。
综上可知,是跳跃间断点;
下面继续判断是否为间断点。
当被讨论的函数是分段函数,并且分段点左右两边的表达式互不相同时,判断分段点的连续性或是间断点的类型才需分左右极限加以讨论。
是无穷间断点,这是因为
;
是可去间断点,这是因为
;
是无穷间断点,这是因为
;
从而该题选择D
,下列无穷小中与不等价的是( )
A. B. C. D.
解:判断等价无穷小或是无穷小的阶,结合本题,常用的方法是
考察,则说明无穷小量是阶无穷小。
进一步,说明无穷小量与是等价无穷小。
本题需要判断所给出的四个选项中的无穷小与是否为等价无穷小,只需判断何时成立。

时,
从而C选项是错误的。
对于寻找一个无穷小量的等价无穷小量,这是一个非常重要的问题,这涉及到求极限,无穷小阶的比较,级数敛散性的判断等许多问题。学****过程中还需掌握以下一些结论:
同“小”取“小”:有限个无穷小量的代数和,其阶数取最低的无穷小量的阶。
例如:时,,其阶数为1阶,它与是同阶无穷小,且为等价无穷小。
同“大”取“大”:有限个无穷大量的代数和,其阶数取最高的无穷小量的阶。
例如:时,,其阶数为5阶,它与是同阶无穷大,且与是等价无穷大。
以上结论的证明不难,大家可尝试使用以上结论求解本题。
,则( )
A. B. C. D.
解:该题是考察函数与原函数之间的关系。
本题有两种思路,一种是对分别求两次导数,可得,然后再积分:
另外一种是先对积分,再根据已知条件求解。
解题时除了考察可行性,还要考虑计算效率。
从而,
( )
A. B. C. D.
解:考察一般项级数的是否绝对收敛,可使用正项级数敛散性的判别方法。
正项级数敛散性的判别方法通常有比较判