考研辅导线性代数.doc

从1987年全国统考以来,行列式的题以填空、选择为主,题量不多,且偏重于计算.
对于落到行列式的考题,大致为三种类型,一是数字型行列式的计算,一是抽象型行列式的计算,还有就是行列式值的判定(特别是行列式是否为零?)
在这些考题中不仅考查行列式的概念、性质及计算,还涉及到矩阵、向量、方程组、特征值二次型等知识点.
一、数字型行列式的计算
1.()设元线性方程组,其中
,,
证明行列式.
评注:本题关于三对角线行列式的计算通常用递推法.(96年数四考题中出现过)
例如,本题按第一列展开,有
得
从而
那么

2.(97,4,3分)设阶矩阵
,则.
评注:除去用行列式的性质及展开公式计算外,你能利用特征值更简便地求出行列式的值吗?
综述
对于数字型行列式的计算主要是按行、列展开公式,,,也要注意一些特殊公式,如上(下)三角、范德蒙行列式、拉普拉斯展开式的运用.
虽然单独命题的计算题并不多,但在特征值问题中有较多型行列式的计算,在线性相关矩阵可逆、
个未知数个方程的齐次方程组、二次型的正定等问题中都会涉及到行列式的计算,因此对行列式的计算要重视,不要因小失大.
二、抽象型行列式的计算
1.(00,3分)若4阶矩阵与相似,矩阵的特征值为,,,,则行列式.
2.(06,4分)设矩阵,E为2阶单位矩阵,矩阵满足,则.
3.(08,4分)设3阶矩阵的特征值为l,2,2,E为3阶单位矩阵,则.
要会计算这些题
(1)(03,4,3分)若都是4维列向量,且4阶行列式,,则4阶行列式
(1) ; (2) ; (3) ; (4) .
评注:作为抽象型行列式,本题主要考查行列式的性质.
(2)(04,,4分)设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则.
评注:本题没有必要解出,注意,不要出错.
(3)(05,,4分)设均为3维列向量,记矩阵,,如果,那么.
评注:,本题用行列式性质恒等变形也是可行的,例如.
综述
对于抽象型行列式的计算,可能考查行列式性质的理解、运用,可能涉及矩阵的运算,也可能用特征值、相似等处理(如第2题).这一类题目往往综合性强,,考生复****时要注意知识的衔接与转换,如果内在联系把握得好,.
三、行列式是否为零的判断
1、(98,3分)齐次方程组
≠0使得AB=0,则
(A),且. (B),且.
(C), 且. (D) ,且.
作为选择题,只需在与中选择一个,因而可以用特殊值代入法.
评注:对于条件AB=0应当有两个思路:一是B的列向量是齐次方程组的解;二是秩的信息即,要有这两种思考问题的意识.
这样的题能快捷判断吗?
2、(99、3分) 设A是m××m矩阵,则
(A) 当m>n时,必有行列式.
(B) 当m>n时,必有行列式.
(C ) 当n>m时,必有行列式.
(D) 当n>m时,必有行列式.
若是阶矩阵,那么
行列式矩阵A不可逆
秩r(A)<n
有非零解
0是矩阵A的特征值
A的列(行))向量线性相关.
因此,判断行列式是否为零的问题,常用的思路有:①用秩;②用齐次方程组是否有非零解;③用特征值有能否为零;④反证法也是重要的;...
因为行列式是一个数,若,则亦能得出的结论.
这里所涉及的思路与方法可以平行的转移到矩阵A是否可逆的判定中去.
第二章矩阵
、,约占线性代教总题量的28%.
伴随矩阵与秋逆是出题最多的考点,矩阵的运算、矩阵方程、矩阵的秩及初等矩阵等知识点都应当认真仔细地复****br/>一、矩阵运算
1、(99,3分) 设,而为正整数,则.
评注:由于
利用教学归纳法容易得出,本题若用相似对角化的理论来求,虽亦可得到这确结论,但烦琐.
这些题要做好
(1)(97,4,3分)设,B为三阶非零矩阵,且AB=0,则.
(2)(95,4,3分)设维向量,矩阵,,其中E为阶单位矩阵,则AB= .
(A) 0 (B) -E (C) E (D)
评注:当是行向量时,是一个数,而是阶矩阵.
(3)(04,4,4分)设,,其中为3阶可逆矩阵,则.
综述
要熟练、,,如何处理AB=0??当时,要会分解为的形式.
二、伴随矩阵