根与系数关系知识讲解及练习.doc

韦达定理:对于一元二次方程,如果方程有两个实数根,则
说明:(1)定理成立的条件
(2)注意公式重的负号与b的符号的区别
根系关系的几大用处
验根:不解方程,利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根; 
例如:已知方程x2-5x+6=0,下列是它两根的是( )
A. 3,-2 B. -2, 3 C. -2,-3 D. 3, 2
求代数式的值:在不解方程的情况下,可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值,如; 
求作新方程:已知方程的两个根,可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 
求根及未知数系数:已知方程的一个根,可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.
(后三种为主)
(1)计算代数式的值
例若是方程的两个根,试求下列各式的值:
(1) ; (2) ; (3) ; (4) .
解:由题意,根据根与系数的关系得:
(1)
(2)
(3)
(4)
说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:
,,,
,,
.
(2)构造新方程
理论:以两个数为根的一元二次方程是。
例解方程组 x+y=5
            xy=6   
解:显然,x,y是方程z2-5z+6=0 ①的两根
由方程①解得 z1=2,z2=3
∴原方程组的解为 x1=2,y1=3
                 x2=3,y2=2
显然,此法比代入法要简单得多。
(3)定性判断字母系数的取值范围
例一个三角形的两边长是方程的两根,第三边长为2,求k的取值范围。
解:设此三角形的三边长分别为a、b、c,且a、b为的两根,则c=2
由题意知
△=k2-4×2×2≥0,k≥4或k≤-4
∴为所求。
【典型例题】
例1 已知关于的方程,根据下列条件,分别求出的值.
(1) 方程两实根的积为5; (2) 方程的两实根满足.
分析:(1) 由韦达定理即可求之;(2) 有两种可能,一是,二是,所以要分类讨论.
解:(1) ∵方程两实根的积为5
∴
所以,当时,方程两实根的积为5.
(2) 由得知:
①当时,,所以方程有两相等实数根,故;
②当时,,由于
,故不合题意,舍去.
综上可得,时,方程的两实根满足.
说明:根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,即所求的字母应满足.
例2 已知是一元二次方程的两个实数根.
(1) 是否存在实数,使成立?若存在,求出的值;若不存在,请您说明理由.
(2) 求使的值为整数的实数的整数值.
解:(1) 假设存在实数,使成立.
∵一元二次方程的两个实数根
∴,
又是一元二次方程的两个实数根
∴
∴
,但.
∴不存在实数,使成立.
(2) ∵
∴要使其值是整数,只需能被4整除,故,注意到,
要使的值为整数的实数的整数值为.
说明:(1) 存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存在.
(2) 本题综合性较强,要学会对为整数的分析方法.
一元二次方程根与系数的关系练****题
A 组
,则的取