铺彻底面.doc

所谓铺彻地面是指用某些平面图形组成一个没有缝隙及重叠的整个平面。
“用正多边形铺彻地面问题”事实上就是“平面的正多边形剖分”问题:把平面剖分成一种或多种正多边形,假定各剖分点处正多边形的配置是一样的,且不允许正多边形的顶点放在另一正多边形的边上,求所有可能的剖分方案。
用一批相同的正多边形地砖来铺地面有几种可能呢?设有k个正n边形各有一个内角拼于一点且恰好覆盖地面,那么在这点正n边形的k个内角加起来必须组成一个周角。
则有,,于是(n-2)是4的正约数,故n-2=1,2,4,所以n=3,4,6。
这说明,用一批相同的正多边形地砖来铺地面,只有正三角形、正方形、正六边形可用。
接下来,看用正多边形铺地面的一般情形:对于给定的某些正多边形,它们能否拼成一个平面图形,那么有哪些正多边形符合条件呢?
解:设某一顶点是用k个正多边形聚合而成的,由于正n边形的每一个内角是,所以可拼成均匀图形必要条件是:这k个正多边形所提供的每一个内角的和为3600,即(其中n1≤n2≤…≤nk)(*)
方程(*)是一个很复杂的不定方程,直接解它很困难。为此,把解(
*)与正多边形的内角度数结合起来考虑。正多边形的内角从小到大依次排列分别为600、900、1080、1200…,而一个顶点是用k个正多边形聚合而成,因此3≤k≤6。
当k=6时,显然这六个正多边形均为正三角形,即n1=n2=…=n6=3;
当k=5时,由于这五个角的和是3600,因此至少有三个角为600,即n1=n2=n3=3,此时
方程(*)化为,变形得n4n5=2(n4+n5),即(n4-2)(n5-2)=4,所以n4=3,n5=6或n4=4,n5=4;
对于k=4的情形,可按上面的考虑方法,先确定出n1,其取值只能为3或4,再分n1=3及n1=4分别讨论,然后再确定出n2,最后解出方程(*);
对于k=3的情形,由于这三个角的和是3600,可知其最小角不能超过1200,这样n1只能取3、4、5、6这四个值,分别令n1=3、4、5、6,代入并解出方程(*),就可获解。
以下列出了方程(*)的全部的17个解:(括号内的数指的是边数)
六个(3,3,3,3,3,3);
五个(3,3,3,3,6),(3,3,3,4,4);
四个(3,3,6,6),(3,3,4,12),(3,4,4,6),(4,4,4,4);
三个(3,7,42),(3,8,24),(3,9,18),(3,10,15),(3,12,12);(4,8,8),
(4,6,12),(4,5,20);(5,5,10);(6,6,6)。
上述讨论得到的十种可能剖分方案,不难通过画图实现,所以共有十种剖分方案。示意图如下:

进一步,如果把条件放宽一些,每一顶点的多边形配置可以不尽相同,这样,用一批正多边形地砖来铺彻地面,其图案种类繁多,更加绚丽多彩。如将(3,3,4,12)与(3,12,12)搭配,可得如图铺彻地面的一种方法。
用正多边形覆盖平面,可以看作是正多面体和半正多面体(若多面体的面中有二种或二种以上合同的正多边形,且一切多面角又都合同,则称这种多面体为半正多面体)概念的