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几何的五大模型
一、等积变换模型
(1)等底等高的两个三角形面积相等
(2)两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比
(3)两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比
如左图S1:S2=a:b
(4)夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图,S△ABC= S△BAD
反之,如果S△ABC= S△BCD,则可知直线AB平行于CD (AB∥CD)
二、鸟头定理(共角定理)模型
(1)两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
(2)共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图.(或D在BA的延长线上,E在AC上),则S△ABC:S△ADE=(AB×AC):(AD×AE)
推理过程连接BE,再利用等积变换模型即可。
证明:
图(1)中设:过顶点D做底边AE的高为H1;过顶点B做底边AC的高为H2
△ABE中S△ADE:S△ABE=AD:AB
同理S△ADE:S△ABE=H1:H2 AD:AB= H1:H2
又因S△ADE=AE*H1*1/2
S△ABC=AC*H2*1/2 得出S△ADE:S△ABC=AE*H1:AC*H2
所以S△ADE:S△ABC=(AB×AC):(AD×AE)
图(2)中设过顶点D作底边AE的高为H1,过顶点B做底边AC的高为H2
DBE中,S△ADE:S△ABE=AD:AB
S△ADE:S△ABE= H1:H2 AD:AB= H1:H2
又因S△ADE=AE*H1*1/2
S△ABC=AC*H2*1/2 得出S△ADE:S△ABC=AE*H1:AC*H2
所以S△ADE:S△ABC=(AB×AC):(AD×AE)

三、蝴蝶定理模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)
S1:S2=S4:S3 或者 S1×S3=S2×S4
AO:OC=(S1+S2):(S4+S3)
证明(1):
在△ABD中,S1:S2=DO:OB
在△DCB中,S4:S3=DO:OB 得到S1:S2=S4:S3或者 S1×S3=S2×S4(十字相乘法)
证明(2):
设过D点作底边AC的高为H1,过B点作底边AC的高为H2
(S1+S2):(S4+S3)=(AO*H1*1/2+AO*H2*1/2):(OC*H1*1/2+ OC*H2*1/2)
约分得到:(S1+S2):(S4+S3)=AO:OC
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造
模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)
S1:S3=:
证明:
由AO:OC=DO:O