反比例函数压轴题精选(含答案).doc

2009-2013年中考反比例函数
经典结论:
如图,反比例函数的几何意义:
(I) ;
图②
图①
(II) 。
下面两个结论是上述结论的拓展.
如图①,
,。
(2)如图②,
,。

经典例题
例1.(1)(兰州)如图,已知双曲线经过矩形边的中点且交于点,四边形的面积为2,则 2 ;

(2)如图,点为直线上的两点,过两点分别作轴的平行线交双曲线于两点,若,则 6
例2.(2013陕西) 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象交,那么值为 24 .
解析:因为A,B在反比例函数上,所以,我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称,因此中有,所以
例3.(2010山东威海) 如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A﹙-2,-5﹚,C﹙5,n﹚,交y轴于点B,交x轴于点D.
O
A
B
C
x
y
D
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式;
(2) 连接OA,△AOC的面积.
解:(1)∵反比例函数的图象经过点A﹙-2,-5﹚,
∴ m=(-2)×( -5)=10.
∴反比例函数的表达式为. ∵点C﹙5,n﹚在反比例函数的图象上,
∴. ∴ C的坐标为﹙5,2﹚.
∵一次函数的图象经过点A,C,将这两个点的坐标代入,得
解得
∴所求一次函数的表达式为y=x-3.
(2) ∵一次函数y=x-3的图像交y轴于点B, ∴ B点坐标为﹙0,-3﹚.
∴ OB=3. ∵ A点的横坐标为-2,C点的横坐标为5,
∴ S△AOC= S△AOB+ S△BOC=.
例4.(2007福建福州)如图,已知直线与双曲线交于两点,且点的横坐标为.
(1)求的值;
(2)若双曲线上一点的纵坐标为8,求的面积;
(3)过原点的另一条直线交双曲线于两点(点在第一象限),若由点为顶点组成的四边形面积为,求点的坐标.
图1
解:(1)点横坐标为,当时,.
点的坐标为.
点是直线与双曲线的交点,
.
(2)解法一:如图1,点在双曲线上,当时,
点的坐标为.
过点分别做轴,轴的垂线,垂足为,得矩形.
,,,.
图2
.
解法二:如图2,
过点分别做轴的垂线,垂足为,
点在双曲线上,当时,.
,都在双曲线上,
图3
.
.
,.
(3)反比例函数图象是关于原点的中心对称图形,
,.四边形是平行四边形.
图4
.
设点横坐标为,得.
过点分别做轴的垂线,垂足为,
点在双曲线上,.
若,如图3,
,
..
解得,(舍去)..
若,如图4,,
.,
解得,(舍去)..
点的坐标是或.
例5.(山东淄博) 如图,正方形AOCB的边长为4,反比例函数的图象过点E(3,4).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D,直线过点D,与线段AB相交于点F,求点F的坐标;
(3)连接OF,OE,探究∠AOF与∠EOC的数量关系,并证明.
【答案】解:(1)设反比例函数的解析式,
∵反比例函数的图象过点E(3,4),∴,即。∴反比例函数的解析式。
(2)∵正方形AOCB的边长为4,∴点D的横坐标为4,点F的纵坐标为4。
∵点D在反比例函数的图象上,∴点D的纵坐标为3,即D(4,3)。
∵点D在直线上,∴,解得。∴直线DF为。
将代入,得,解得。∴点F的坐标为(2,4)。
(3)∠AOF=∠EOC。证明如下:
在CD上取CG=CF=2,连接OG,连接EG并延长交x轴于点H。
∵AO=CO=4,∠OAF=∠OCG=900,AF=CG=2,
∴△OAF≌△OCG(SAS)。∴∠AOF=∠COG。
∵∠EGB=∠HGC,∠B=∠GCH=900,BG=CG=2,
∴△EGB≌△HGC(AAS)。∴EG=HG。
设直线EG:,
∵E(3,4),G(4,2),∴,解得,。
∴直线EG:。
令,得。∴H(5,0),OH=5。在Rt△AOF中,AO=4,AE=3,根据勾股定理,得OE=5。∴OH=OE。
∴OG是等腰三角形底边EH上的中线。∴OG是等腰三角形顶角的平分线。
∴∠EOG=∠GOH。∴∠EOG=∠GOC=∠AOF,即∠AOF=∠EOC。
例6.(2009山东威海) 一次函数的图象分别与轴、轴交于点,,轴,垂足分别为;过点分别作轴,轴,垂足分别为与交于点,连接.
(1)若点在反比例函数的图象的同一分支上,如图1,试证明:
①;
②.
O
C
F
M
D
E
N
K
y
x
(图1)
O
C
D
K