同课异构：方程的根与函数的零点(公开课)(1).ppt

ax2+bx+c=0 (a≠0)
y= ax2+bx+c (a≠0)
这叫方程,是一元二次方程
这叫函数,是二次函数
一元二次方程
的根与二次函数
的图像有什么关系?
思考:
请大家来看看下面几个例子
函数的图象
与x轴交点
方程
x2-2x+1=0
x2-2x+3=0
y= x2-2x-3
y= x2-2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=-1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
(-1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2-2x-3=0
x
y
0
-1
3
2
1
1
2
-1
-2
-3
-4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
y
0
-1
3
2
1
1
2
5
4
3
.
.
.
.
.
y
x
0
-1
2
1
1
2
y= x2-2x+3
观察:函数图象与x轴的交点和相应方程的根有什么关系?
判别式
>0
0
<0
y=ax2+bx+c
的图象
ax2+bx+c=0
的根
归纳二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根与二次函数
y= ax2+bx+c(a>0)的图象有如下关系:
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
函数的图象与
x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
没有交点
有两个相等的实数根x1 = x2
没有实数根
两个不相等的实数根x1 、x2
(x1,0)即
在这里,方程的实数根就是相应函数图象与x轴交点的横坐标,也是相应函数的零点,
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
函数零点的定义:
注意:零点指的是一个实数
零点是一个点吗?
对零点的理解:
"数"的角度:
"形"的角度:
即是使f(x)=0的实数x的值
即是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
求函数零点的方法:
(1) 图象法:
(2) 图象法:
解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点
画出函数y=f(x)的图象, 其图象与x轴交点的横坐标是函数y=f(x)的零点
练****1
求下列函数的零点:
求函数y=f(x)的零点实际上也是求方程f(x)=0的根。
有很多方程用我们常规的公式法是很难求根的,但用函数零点的几何意义,来探讨方程的根是否一种有效的方法呢?首先,我们来观察一个例子
1. f(-2)= ,f(1) =
f(-2) f(1) 0 (填“>”或“<”)
发现在区间(-2,1)上有零点
2. f(2)= ,f(4) =
f(2) f(4) 0 (填“>”或“<”)
发现在区间(2,4)上有零点
观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象
<
5
-4
-1
<
3
-3
5
-2
x
y
0
-1
3
2
1
1
2
-1
-2
-3
-4
4
探究活动
以上大家有什么发现呢?
(a,b)上连续不断,
且 f(a)·f(b) ____ 0(填<或>).
在区间(a,b)上____(有/无)零点;

(b,c) 上连续不断,
且f(b)· f(c)____ 0(填<或>).
在区间(b,c)上____(有/无)零点;
思考:函数在区间端点上的函数值的符号情况,与
函数零点是否存在某种关系?
猜想:
若函数在区间[a,b]上图象是连续的,如果有成立,
那么函数在区间(a,b)上有零点。
观察函数f(x)的图像
0
y
x
有
<
有
<
f(a)·f(b)< 0