矩阵分析第5章（精选）.ppt

第五章范数,序列,级数前言
向量与矩阵范数是向量与矩阵的一个重要数字特征---用它可以建立向量集或矩阵集的拓扑结构,从而便于研究向量或矩阵序列,,这一章的理论在数值分析及其它领域中十分有用.
(矩阵幂级数)是研究矩阵函数的重要工具.
7/7/2017
§ 向量范数

x,的标准长度:
‖x‖=(x,x)=(|x1|2+…+|xn|2)1/2 满足
①xV,‖x‖0; ‖x‖= 0  x=0 (非负性)
②xV,kC,‖kx‖=|k|‖x‖(齐次性)
③x,yV,‖x+y‖‖x‖+‖y‖(三角不等式)
:数域F上线性空间V称为赋范空间,如果存在映射‖‖:VR 满足上述三条公理.‖x‖称为x的范数.
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几点注记
向量范数的概念不仅限于酉空间,即:酉空间是赋范空间,但存在不是酉空间的赋范空间.
同一酉空间可能除标准内积定义的(标准),在Cn中可定义下列范数: ,‖x‖= max{|x1|,…,|xn|}.
(它显然满足非负公理;
‖kx‖= max{|kx1|,…,|kxn|} |kxi|=|k||xi|
=|k|max{|x1|,…,|xn|}=|k‖x‖;
‖x+y‖= max{|x1+y1|,…,|xn+yn|}
 max{|x1|+|y1|,…,|xn|+|yn|}
 max{|x1|,…,|xn|}+max{|y1|,…,|yn|}
=‖x‖+‖y‖
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范数初等性质(由定义推出)
‖-x‖=|-1|‖x‖=‖x‖.
x,yV,‖xy‖|‖x‖-‖y‖|.
证:首先‖x‖=‖(x-y)+y‖‖x-y‖+‖y‖
‖x-y‖‖x‖-‖y‖.
其次‖x-y‖=‖-(y-x)‖=‖y-x‖
‖y‖-‖x‖= -(‖x‖-‖y‖)
∴‖x-y‖|‖x‖-‖y‖|.
此外‖x+y‖=‖x-(-y)‖
|‖x‖-‖-y‖|=|‖x‖-‖y‖|
∴‖xy‖|‖x‖-‖y‖|.
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Holder不等式与Minkowski不等式
下面两个不等式对本章的理论推导十分有用
Holder不等式:对任意给定p>1和q=p/(p-1) (>1,即(1/p)+(1/q)=1)及任意ak,bk0成立
k=1nakbk (k=1nakp)1/p(k=1nbkq)1/q.
(C-S不等式为其(p=2时)特例) p,q次算术根
Minkowski不等式:对任意给定p1成立
(k=1n|ak+bk|p)1/p
(k=1n|ak|p)1/p+(k=1n|bk|p)1/p
此2不等式证明见教本
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不等式()的证明
·设p>1,q=p/(p-1)>,v0有
uvup/p+vq/q ()
证:只须证对任意u>0,函数 f(v)=up/p+vq/q-uv 在定义域D={v>0}内的最小值等于0即可.
(u=0或v=0时,()显然成立).
事实上,因f(v)=vq-1-u=0在定义域D内有唯一零点:v=u1/(q-1)>0,并且f(v)=(q-1)vq-2>0(当v>0),故
f(u1/(q-1))=up/p+uq/(q-1)/q-uu1/(q-1)=0
.
(uq/(q-1)/q-uu1/(q-1)=up(1/q-1)=-up/p)
(q-1)/q=1-1/q=1/p; 1+1/(q-1)=q/(q-1)=p
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Horder不等式()的证明
uvup/p+vq/q ()
证:在()中,令u=ak/a;v=bk/b,其中
则
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p-范数及其性质
:,对任意给定
p1,x=(x1,…,xn)Cn,令
‖x‖p=(i=1n|xi|p)1/p p次算术根
则‖x‖p是向量范数,称为x的p-范数.
证:非负性显然成立;
‖kx‖p=(i=1n|kxi|p)1/p =(i=1n|k|p|xi|p)1/p
=|k|(i=1n|xi|p)1/p =|k|‖x‖p
‖x+y‖p=(i=1n|xi+yi|p)1/p
(i=1n|xi|p)1/p+(i=1n|yi|p)1/p
=‖x‖p+‖y‖p Minkowski不等式
注:有无穷多个p-范数,最常用的是下列三个:
2-范数‖x‖2=(i=1n|xi|