2017年考研数学二真题与答案解析分析(word版).doc

2017年全国硕士研究生入学统一考试
数学二真题分析
(word版)
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1))若函数在处连续,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】在处连续选A.
(2)设二阶可导函数满足且,则( )
【答案】B
【解析】
为偶函数时满足题设条件,此时,排除C,D.
取满足条件,则,选B.
(3)设数列收敛,则( )
当时, 当时,
当时, 当时,
【答案】D
【解析】特值法:(A)取,有,A错;
取,排除B,.
(4)微分方程的特解可设为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】特征方程为:
故特解为:选C.
(5)设具有一阶偏导数,且对任意的,都有,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】是关于的单调递增函数,是关于的单调递减函数,
所以有,故答案选D.
(6)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m)处,图中实线表示甲的速度曲线(单位:),虚线表示乙的速度曲线,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位:s),则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】从0到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要追上甲,则
,当时满足,故选C.
(7)设为三阶矩阵,为可逆矩阵,使得,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】 B
【解析】
,
因此B正确。
(8)设矩阵,则( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【解析】由可知A的特征值为2,2,1,
因为,∴A可相似对角化,即
由可知B特征值为2,2,1.
因为,∴B不可相似对角化,显然C可相似对角化,∴,但B不相似于C.
二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 曲线的斜渐近线方程为_______
【答案】
【解析】
(10) 设函数由参数方程确定,则______
【答案】
【解析】
(11) _______
【答案】1
【解析】
(12) 设函数具有一阶连续偏导数,且,,则
【答案】
【解析】故
,
因此,即,再由,可得
【答案】
【解析】
(13)
【答案】.
【解析】交换积分次序:
.
(14)设矩阵的一个特征向量为,则
【答案】-1
【解析】设,由题设知,故
故.
三、解答题:15—23小题,、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)求极限
【答案】
【解析】,令,则有
(16)(本题满分10分)设函数具有2阶连续偏导数,,求,
【答案】
【解析】
结论:
(17)(本题满分10分)求
【答案】
【解析】
(18)(本题满分10分)已知函数由方程确定,求的极值
【答案】极大值为,极小值为
【解析】
两边求导得:
(1)
令得
对(1)式两边关于x求导得(2)
将代入原题给的等式中,得,
将代入(2)得
将代入(2)得
故为极大值点,;为极小值点,
(19)(本题满分10分)设函数在区间上具有2阶导数,且,证明:
方程在区间内至少存在一个实根;
方程在区间内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】
(I)二阶导数,
解:1)由于,根据极限的保号性得
有,即
进而
又由于二阶可导,所以在上必连续
那么在上连续,由根据零点定理得:
至少存在一点,使,即得证
(II)由(1)可知,,令,则
由罗尔定理,则,
对在分别使用罗尔定理:
且,使得,即
在至少有两个不同实根。
得证。
(20)(本题满分11分)已知平面区域计算二重积分。
【答案】
【解析】
(21)(本题满分11分)设是区间内的可导函数,且,点是曲线L: 上任意一点,L在点P处的切线与y轴相交于点,法线与x轴相交于点,若,求L上点的坐标满足的方程。
【答案】
【解析】设的切线为,令得,法线,令得。由得,即。令,则,按照齐次微分方程的解法不难解出,
(22)(本题满分11分)设3阶矩阵有3个不同的特征值,且。
证明:
若,求方程组的通解。
【答案】(I)略;(II)通解为
【解析】
(I)证明:由可得,即线性相关,
因此,,即A的特征值必有0。
又因为A有三个不同的特征值,则三个特征值中只有1个0,另外两个非0.
且由于A必可相似对角化,则可设其对角矩阵为
∴
(II)由(1),知,即的基础解