自考高等数学一微积分小抄笔记小抄习题解析-自考速记笔记.doc

第二章极限和连续
第三章一元函数的导数和微分
第四章微分中值定理和导数的应用
第五章一元函数积分学
第六章多元函数微积分
前言
《高等数学一》共6章。
第一章函数
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,一般是4至5分。
第二章极限和连续
本章内容在历年考题中所占分值为10%左右。
第三章一元函数的导数和微分
主要是如何求函数的导数和微分
本章内容在历年考题中所占分值为10%左右。
第四章微分中值定理和导数应用
本章在历年考题中所占分值为15%左右。
第五章一元函数积分学
包括函数的不定积分和一元函数定积分。
本章内容在历年考题中所占分值为25%左右。
第六章多元函数微积分
本章内容在历年考试题中所占比例为15%左右。
第一章函数及其图形
预备知识
一、基本概念

具有某种特定性质的事物的总体。
组成这个集合的事物称为该集合的元素。

集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,称为A包含于B,或B包含A。
若XA,则必xB,就说A是B的子集,记作AB
数集分类:
N----自然数集 Z----整数集
Q----有理数集 R----实数集
数集间的关系:NZ,ZQ,QR.

若AB,且BA,就称集合A与B相等。记作(A=B)
例1 则A=C.

不含任何元素的集合称为空集(记作)。规定空集为任何集合的子集。
例2

1)并:由中所有元素组成的集合称为A和B的并集,记为AB
例3
例4
2)交:由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集,记为AB
例5
例6
3)差:由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集,记为A-B
例7
二、绝对值
:
:
(1),如需精美完整排版,请QQ:1962930 当且仅当a=0时,
(2)
(3) (4)
:
(1)表示数轴上的点x与原点之间的距离为a。
(2)表示数轴上的两点x与y之间的距离为a。
:
k>0时,则有
k>0时,则有
例8 ,求x的值。
答案:x=±5
:
例9 化去下列各式绝对值的符号:
(1) 如需精美完整排版,请QQ:1962930
(2)
(3)
(4) 如需精美完整排版,请QQ:1962930
例10 解下列含有绝对值符号的不等式:
(1)
(2)
(3) 如需精美完整排版,请QQ:1962930
三、区间
是指介于某两个实数之间的全体实数,这两个实数叫做区间的端点。
以上区间都叫有限区间
这两种形式的区间叫无限区间
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
四、邻域如需精美完整排版,请QQ:1962930
设a与是两个实数,且>0,数集称为点a的邻域,记作U(a)。
点a叫做这个邻域的中心,叫做这个邻域的半径。
点a的去心邻域,记作。
区间与邻域的关系:
例11 解不等式并用区间表示不等式的解集:
(1)
(2)
函数
一、函数的概念

设x和y是两个变量,D是一个给定的数集,如果对于每个x∈D,变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应,则称y是x的函数,记作如需精美完整排版,请QQ:1962930
数集D叫做这个函数的定义域,当时,称为函数在点处的函数值。
函数值全体组成的数集
称为函数的值域。
:定义域与对应法则。
约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。
例1、
例2、
例3、判断下列两个函数是否相等
例4、求函数的定义域
例5、符号函数

在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数。
例6、
例7、求下面分段函数定义域并画出图形。
例8、将下面函数化为分段函数
二、函数的表示法



函数的特性
一、函数的有界性
若有成立,则称函数f(x)在X上有界,否则称无界。
例9、判断下面函数在其定义域是否有界
(1)符号函数y=sgnx
(2)y=x2
:
设函数f(x)的定义域为D,区间I∈D,
如果对于区间I上任意两点及当时,
恒有则称函数f(x)在区间I上是单调增加的;
设函数f(x)的定义域为D,区间I∈D,如果对于区间I上任意两点及,当时,恒有则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。如需精美完整排版,请QQ:1962930
例