椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明.doc

椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明
(一)椭圆中,PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
证明:延长F2H至M,交PF1于M
∵PT平分∠MPF2 ,又F2H⊥PT,∴
又,
∴.
∴H轨迹是以长轴为直径的圆,除长轴端点.
(二)椭圆中,椭圆焦点三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.
证明:如图,设以焦半径MF2为直径的圆的半径为r1,
圆心为O1,
由椭圆定义知
∴
∴⊙O、⊙O1相内切
(三)设A1、A2为椭圆的左、右顶点,则△PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆,必与A1A2所在的直线切于A2(或A1).
证明:设旁切圆切轴于,切于M,F1P于N,
则,, ,
∴
∴与A2重合.
(四)椭圆(a>b>o)的两个顶点为,,
与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时,
A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
证明:设交点,,
∵,
∴
又
∴,即轨迹方程为
(五)若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.
证明:对求导可得: ∴,
∴切线方程为
即,
即,
∴
(六)若在椭圆外,则过P0作椭圆的两条切线,切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.
证明:设,,则过点切线分别为
∵在上∴,
∴过P1,P2方程
(七)AB是椭圆的不平行于对称轴且不过原点的弦,M为AB的中点,则.
证明:设则
又
∴
(八)若在椭圆内,则被P0所平分的中点弦的方程是.
证法1:由上题的结论得:,
∴弦AB方程为
若在椭圆内,则过P0的弦中点的轨迹方程是.
证法2:设弦交椭圆于,中点.

∴
即.
(九)过椭圆(a>0, b>0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且
(常数).
证明:设两直线与椭圆交于点.
由题意得①=②
∴,
展开

③-④得:(定值)
(十)椭圆(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则椭圆的焦点三角形的面积为;。
证明:设,,则.
由余弦定理
,
.
(十一) 若P为椭圆上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ,
则