相似相似三角形全部知识点总结附带经典习题和答案.doc

适合人群:老师备课,以及优秀同学拔高使用。
一、基础知识(不局限于此)
(一).比例
、比例中项、比例线段;
:
(1)基本性质:
(2)合比定理:
(3)等比定理:
:如图,若,则点P为线段AB的黄金分割点.

(二)相似
:我们把具有相同形状的图形称为相似形.
:相似多边的对应边成比例,对应角相等.

(1)平行于三角形一边的直线与其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。
(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
4. 相似三角形的性质
(1)对应边的比相等,对应角相等.
(2)相似三角形的周长比等于相似比.
(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
(4)相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.
: 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
:梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.
梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.
:
1、利用三角形相似,可证明角相等;线段成比例(或等积式);
2、利用三角形相似,求线段的长等
3、利用三角形相似,可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。
(三)位似:
位似:如果两个图形不仅是相似图形,而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形。.
位似性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
二、经典例题
例1. 如图在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上.
(1)填空:∠ABC=______,BC=_______.
(2)判定△ABC与△DEF是否相似?
[考点***]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.
[参考答案] ①135°,2 ②能判断△ABC与△DEF相似,
∵∠ABC=∠DEF=135°,=
【点评】注意从图中提取有效信息,再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断.
例2. 如图所示,D、E两点分别在△ABC两条边上,且DE与BC不平行,请填上一个你认为适合的条件_________,使得△ADE∽△ABC.
[考点***]本例主要是考查相似的判定
[参考答案] ∠1=∠B或∠2=∠C,或
点评:结合判定方法补充条件.
例3. 如图,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走2米到达E处时,测得影子EF的长为2米,,那么路灯A的高度等于( )

[考点***]本例主要是考查相似的应用
[参考答案] B
例4. 如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?
[考点***]本例主要是考查相似的实际应用
[参考答案] 48mm
【点评】解决有关三角形的内接正方形(或矩形)的计算问题,一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答.
,在△ABC中,AB=AC=1,点D、E在直线BC上运动,设BD=x,CE=y.
(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数关系式;
(2)如果∠BAC的度数为α,∠DAE的度数为β,当α、β满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函数关系式还成立,试说明理由.
[考点***]本例主要是考查相似与函数的综合运用.
[参考答案]解:在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=30°,∠ABC=∠ACB=75°,∠ABD=∠ACE=105°.
又∠DAE=105°,∴∠DAB+∠CAE=75°.
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,
∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB∽△EAC,
∴,∴y=.
当α1β满足β- =90°,y=仍成立.
此时∠DAB+∠CAE=β-α,∴∠DAB+∠ADB=β-α,
∴∠CAE=∠ADB.
又∵∠ABD=∠ACE,∴△ADB∽△EAC,∴y=.
【点评】确定两线