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高考函数压轴大题
宋苗珂整理
1已知函数若互不相等,且则的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
2直线与曲线有四个交点,则的取值范围是
【答案】(1,
【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.
y=1
x
y
a
O
【解析】如图,在同一直角坐标系内画出直线与曲线
,观图可知,a的取值必须满足
解得.
3定义域和值域均为(常数)的函数和的图像如图所示,给出下列四个命题:
(1)方程有且仅有三个解;
(2)方程有且仅有三个解;
(3)方程有且仅有九个解;
(4)方程有且仅有一个解。
那么,其中正确命题的个数是( )

,为正整数ks5u.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)若数列的通项公式为(),求数列的前项和;
(Ⅲ)设数列满足:,,设,若(Ⅱ)中的满足对任意不小于3的正整数n,恒成立,试求m的最大值. ks5u
解:(Ⅰ)=1;
===1;…………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,即
由, ……………①
得…………②
由①+②, 得
∴,…10分
(Ⅲ) ∵,∴对任意的.
∴即.
∴.
∵∴数列是单调递增数列.
∴关于n递增. 当, 且时, .
∵
∴∴∴.而为正整数,
∴的最大值为650. ………………………………………………16分
2已知函数是奇函数.
(1)求实数的值;(2)判断函数在上的单调性,并给出证明;
(3)当时,函数的值域是,求实数与的值
解:(1)由已知条件得
对定义域中的均成立.
即对定义域中的均成立.
即(舍去)或.
(2)由(1)得设,
当时,
. 当时,,即
当时,在上是减函数.
同理当时,在上是增函数.(3)函数的定义域为,①,.在为增函数,
要使值域为,
3已知函数,当时,恒有
(1)求的表达式;
(2)设不等式的解集为A,且,求实数的取值范围。
(3)若方程的解集为,求实数的取值范围。
解:(1)当时,恒成立
,即恒成立,分
又,即,从而分
(2)由不等式,
即且分
由于解集,故, 分
所以即, 分
又因为,所以实数的取值范围是分
(3)解法一:
由分
方程的解集为,故有两种情况:
①方程无解,即,得分
②方程有解,两根均在内,
则分
综合①②得实数的取值范围是分
(3)解法二:
若方程有解,
则由分
由
当则,
当且仅当时取到18 当,则是减函数,所以
即在上的值域为
故当方程无解时,的取值范围是
,函数的图像与函数
的图像关于直线对称.
(1)求函数的解析式;
(2)若函数在区间上的值域为,
求实数的取值范围;
(3)设函数,试用列举法表示集合.
(1)由得,由已知可得
(4分)
(2)在上是单调递增的,又,
(或设则
,)
所以函数在区间上为增函数,因此(6分)
即
所以 m、n是方程的两个相异的解. (8分)
设,则(10分)
所以为所求. (12分)
另解:由可转化为函数图像与函数的图像有两个交点问题,数形结合求得:.
(3) (14分)
当且仅当时等号成立,
(16分)
,有可能取的整数有且只有1,2,3.
当时,解得(舍去);
当时,解得(舍去);
当时,解得(舍去).故集合(18分)
,过点作曲线的两条切线、,切点分别为、.
(Ⅰ)设,试求函数的表达式;
(Ⅱ)是否存在,使得、,求出的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若对任意的正整数,在区间内总存在个实数
,,使得不等式成立,求的最大值.
解:(Ⅰ)设、两点的横坐标分别为、,
, 切线的方程为:,
又切线过点, 有,
即, ………………………………………………(1) …… 2分
同理,由切线也过点,得.…………(2)
由(1)、(2),可得是方程的两根,
………………( * ) ……………………… 4分
,
把( * )式代入,得,
因此,函数的表达式为. ……………………5分
(Ⅱ)当点、与共线时,,=,
即=,化简,得,
,. ………………(3) …………… 7分
把(*)式代入(3),解得.
存在,使得点、与三点共线,且. ……………………9分
(Ⅲ)解法:易知在区间上为增函数,
,
则.
依题意,不等式对一切的正整数恒成立, …………11分
,
即对一切的正整数恒成立,.
, ,
.
由于为正整数,. ……………………………13分
又当时,存在,,对所有的满足条