高数下册各章总复习题及答案.doc

在“充分”,“必要”,“充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内:
(1)在点可微分是在该点连续的充分条件;在点连续是在该点可微分的必要条件。
(2)在点的偏导数及存在是在该点可微分的必要条件;在点可微分是函数在该点的偏导数及存的充分条件。
(3)的偏导数及点存在且连续是在该点可微分的充分条件。
(4)函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在D内相等的充分条件。
,并求。
解:1),定义域:
2)由初等函数的连续性知:
证明极限不存在。
证明:当点沿用趋于点时,有
,显然它是随着的不同而改变的,
故:极限不存在。
设求及
解:1) 当时,
当时, ,故:
,故:
于是:

:
(1);
解:
,

(2).
解:

求函数当时的全增量和全微分。
解:1) ,


;证明:在点0处连续且偏导数存在,但不可微分.
证明:1) ,于是:
即: ; 即: 在点连续
,
即:在处的偏导数存在,且
3) 假设在点处可微,则有:
又

书中18页已证明:不存在,故(*)式在时极限不存在,
即:不能表示为的高阶无穷小,
于是,在处不可微分。
,而都是可微函数,求.
解:
,而;求。
解:


,其中具有连续的二阶偏导数,求.
解:

.
解:将两边同时对,y求偏导数
将两边同时对,求偏导数
联立式得:


于是:


.
解:
切线方程:,即:
法平面方程:,即:
在曲面上求一点,使这点处的法线垂直于平面,并写出这法线的方程.
解:曲面在点处的法线向量为:
平面的法向量为:
当∥时,曲面在点处的法线垂直于平面,此时,
, ,
于是,点即为所求,
此时,所求法线方程为:
设x 轴正向到方向的转角为,求函数在点沿方向的方向导数。并分别确定转角,使这导数有:(1)最大值;(2)最小值;(3)等于0。
解:,
于是,函数在点沿方向的方向导数为:
当时,有最大值;时,有最小值;或时,.
.
解: 椭球面上点处的法线向量为: , 其方向余弦为:
, ,
于是,函数在点处沿的方向导数为:

(因在椭圆球面上)
.
解:平面与柱面的交线到面上的最短距离为函数的条件下的最小值,作函数:
令: 解得条件驻点,最小值。
于是点即为所求。
在第一卦限内作椭球面的切平面,使该切面与三坐标面所围成的四面体的体积最小。求这切面的切点,并求此最小体积。
解:设为椭球面上在第一象限内的点。
椭球面在处的法向量为:
切平面为:
即:
切平面在三个坐标轴上的截距分别为,,,该四面体体积为:
又因点在椭球面上,
当且仅当时等号成立。
于是: (当时等号成立)。
于是:, 当时等号成立。
故当平面的切点为时,切平面与坐标面所围成的四面体的体积最小,为。
第九章重积分
:
(1),其中D是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2)和(0,1)的梯形闭区域;
y=x+1
2
1
D
x
x
0
1
解:区域D:


y=sinx
0
1
x
(2) 其中D是闭区域:;
D
解:


x2+y2=Rx
0
R
x
y
(3) ,其中D是圆周所围成的闭区域;
D
解:


(4) ,其中D是闭区域:
解:区域D:


交换下列二次积分的顺序:
2
x
-2
0
D
y
y=2x+4
4
(1)
解:


(2)
解:
x
y
0
2
3
1
D



y
1
D1
(3)
D2
0
1
x
2
解:
其中



0
a
D
y
x
y=x
a
证明:
证明:



,证毕。
D1
0
y=1
1
y
x
y=x2
D3
D2
1
-1
把积分表为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D是
,
解:
曲线的极坐标方程:
曲线