椭圆轨道上行星运动速度和能量.doc

行星在椭圆轨道上运动的速度和能量
【摘要】本文用万有引力和开普勒定律,结合椭圆的对称性,讨论了行星沿椭圆轨道运动中速度的变化规律以及行星在运动中的能量变化情况。
【关键词】行星运动的速度、椭圆轨道、行星、机械能守恒、动能、引力势能
【正文】
一、在近日点和远日点两个速度的比较
行星经过近日点和远日点时,运动的曲率半径相同,这是因为椭圆具有对称性。这样的话,设这个曲率半径是,对于经过近日与远日点时分别有:
…………………………………………(1)
…………………………………………(2)
由(1)(2)可得:
即:
…………………………………………(3)
另外,在近日点时
在远日点时
代入(1)式有
…………………………………………(4)
上面的问题也可以按照下面的过程思考:
由开普勒第三定律知
…………………………………………(5)
已知行星在近日点和远日点无径向速度,故横向速度等于其合速度,有
…………………………………………(6)
将(6)代入(5)有:
对于近日点和远日点来说,有:。稍做变形就可以得到上面的结果了,从略。
二、行星运动到一般位置的速度
在极坐标中
…………………………………………(7)
…………………………………………(8)
其中、分别表示径向速度和横向速度。
由椭圆方程得:
两边对时间求导,有:
整理可得:
…………………………………………(9)
行星运动的速度为:
即:
…………………………………………(10)
这个结果中只有是变量,其它都是常数,特别是为常数。这表明:
时,v是增函数,v随的减小而增大;
时,v是减函数,v随的增大而减小。
实际上,由于,所以上面的结果也可以用r来说明:
时,v是增函数,v随r的减小而增大;
时,v是减函数,v随r的增大而减小。
三、行星运动过程中的能量
由动能的表达式及(10)式可知:
…………………………………………(11)
下面我们讨论行星运动中的掠面速度表达式:
椭圆面积:
…………………………………………(12)
其中a、b分别表示椭圆的长轴和短轴,对椭圆方程来说,
当时,……………………………………………(13)
当时,……………………………………………(14)
如图1所示,用红色的线段来表示,用绿色的线段来表示。可知:
……………………………………………(15)
x
O
θ
图1
l
r
由(13)(14)(15)可得:
……………………………………………(16)
…………………………………(17)
将(16)(17)式代入(12)式可知:
……………………………………………(18)
掠面速度
从而有: