高中数学 第一讲 线性变换与二阶矩阵（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用课件 新人教A版选修4-21.ppt

(二)一些重要线性变换对单位正方形区域的作用
内容:
线性空间的一般概念
重点:空间结构和其中的数量关系
线性变换
重点:其中的矩阵处理方法
特点:
研究代数结构——具有线性运算的集合。
看重的不是研究对象本身,而是对象之间的结构关系。
研究的关注点:对象之间数量关系的矩阵处理。
学****特点:具有抽象性和一般性。
一. 集合与映射
集合
集合:作为整体看的一堆东西.
集合的元素:组成集合的事物.
设S表示集合,a表示S的元素,记为a∈S
读为a属于S;用记号 aS 表示a 不属于S.
集合的表示:(1 ) 列举法
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线性空间(Linear Spaces)
例如
空集合:不包含任何元素的集合,记为
子集合:设表示两个集合,如果集合
都是集合的元素,即由,
那么就称的子集合,记为
相等:即
(2) 特征性质法
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集合的交:
集合的并:
集合的和:
例如
数域
数域:是一个含0和1,且对加,减,乘,除(0
不为除数)封闭的数集.
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例如:有理数域Q,实数域R,复数域C.
映射
映射:设S 与S’是两个集合,一个法则(规则)
,它使S中的每个元素a 都有 S’中一
个确定的元素 a’与之对应,记为
称为集合S到 S’的映射,a’称为a 在映射
下的象,而a 称为 a’在映射σ下的一个原象.
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变换:S到S自身的映射.
例如: 将方阵映射为数
将数映射为矩阵
可看成变换。
其中
相等:设都是集合S到的映射,如果对于都有,则称
相等,记为.
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乘法:设依次是集合S到, 的
映射,乘积定义如下
是S到的一个映射.
注: , ( 是的
映射)
二、线性空间的概念
线性空间=集合+两种运算(所成完美集合)
Example
R 3={x=(x1,x2,x3)T:xi R}
={空间中所有向量}
定义向量的加法,数与向量的乘积。
运算封闭
八条运算律成立
线性空间=集合+两种运算(所成完美集合)
Definition:(线性空间或向量空间)
要点:
集合V 与数域F
向量的加法和数乘向量运算
(运算之后的结果跑不出去)
八条运算律
(能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美)
常见的线性空间
Fn={X=(x1,x2,…,xn)T:x F}
运算:向量加法和数乘向量
Fmn = {A=[aij]mn:a ijF};
运算:矩阵的加法和数乘矩阵
Rmn ;Cmn 。
F[t]n ={f(x)=a0 + a1x+ a2x2+...+an-1xn-1 :aiR}
运算:多项式的加法和数乘
C[a,b]={f(x):f(x)在[a,b]上连续}
运算:函数的加法和数乘
Example: V=R+,F=R, a b=ab,  a=a 
F=R或C