2018-2019版数学高二同步系列课堂讲义选修4-5人教A版：第一章不等式和绝对值不等式1.2.1.pptx

二绝对值不等式


(1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.
(2)对于任意实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别为A,B,|a-b|表示数轴上A,B两点之间的距离,即线段AB的长度.

(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
名师点拨绝对值三角不等式的完整形式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
其中,(1)|a+b|=|a|-|b|成立的条件是ab≤0,且|a|≥|b|;
(2)|a+b|=|a|+|b|成立的条件是ab≥0;
(3)|a-b|=|a|-|b|成立的条件是ab≥0,且|a|≥|b|;
(4)|a-b|=|a|+|b|成立的条件是ab≤0.
做一做1 若|lg ab|=|lg a|+|lg b|成立,则实数a,b满足的条件可以是( ) 
>1 <ab<1
<a<1,且0<b<1 <a<1,且b>1
解析:由已知得|lg a+lg b|=|lg a|+|lg b|,所以lg a·lg b≥0,因此a>1,且b>1或0<a<1,且0<b<1.
答案:C

(1)若a,b是任意不共线的向量,则有|a+b|<|a|+|b|,其几何意义是:三角形的两边之和大于第三边.
(2)|a-c|≤|a-b|+|b-c|的几何意义是:数轴上任意一点到两点的距离之和,不小于这两点的距离.
做一做2 若x,y,z是任意三个互不相等的实数,且a= ,则实数a的取值范围是.
答案:[1,+∞)
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)在|a+b|≤|a|+|b|中,等号成立的条件是a,b同号. ( )
(2)|a-b|=|a|+|b|成立的条件是ab≤0. ( )
(3)数轴上任意一点到两点的距离之和,大于这两点间的距离. ( )
(4)形如|x-a|+|x-b|的代数式只有最小值没有最大值. ( )
×
√
×
√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
对绝对值三角不等式的理解 
【例1】若|a-c|<b,则下列不等式不一定成立的是( )
A.|a|<|b|+|c| B.|c|<|b|+|a|
C.|b|>|a|-|c| D.|b|<|a|+|c|
分析:利用绝对值三角不等式,结合不等式的传递性进行判断.
解析:因为|a-c|<b,所以b>0,|b|=b.
因为|a|-|c|≤|a-c|,所以|a|-|c|<|b|,即选项C正确,这时|a|<|b|+|c|,选项A正确;
因为|c|-|a|≤|a-c|,所以|c|-|a|<|b|,所以|c|<|b|+|a|,选项B正确;选项D无法判断.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟判断绝对值不等式是否成立的技巧
,如一个数是正数,是负数还是零等,数(或式子)的积、平方、取倒数等也都对不等号产生影响,注意考察这些因素在不等式中的作用.
,可以对不等式化简整理或变形后再利用绝对值不等式进行判断.
.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是( ) 
A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b|
C.|a-b|<||a|-|b|| D.|a-b|<|a|+|b|
解析:因为ab<0,所以|a-b|=|a|+|b|,
|a+b|<|a|+|b|,所以|a+b|<|a-b|.
答案:B