第29全国中学生奥林匹克物理竞赛复赛试卷及答案（精选）.doc

第29届全国中学生奥林匹克物理竞赛复赛试卷
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
得分
阅卷
复核
本卷共8题,满分160分
填空题把答案填在题中的横线上或题给的表格中,只要给出结果,不需写出求解过程。
计算题的解答应写出改要的文字说明、方程式和重要的演算步骤,只写出最后结果的不能得分。有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位。
一、(17分)设有一湖水足够深的咸水湖,湖面宽阔而平静,初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放,释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触,已知湖水密度为ρ;物块边长为b,密度为ρ,且ρ,<ρ。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下,求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。
由于湖面足够宽阔而物块体积很小,所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变,因此,可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系,以下简称系. 设物块下底面的坐标为,在物块未完全浸没入湖水时,其所受到的浮力为
() (1)

(2) 设物块的加速度为,根据牛顿第二定律有
(3) 将(1)和(2)式代入(3)式得
(4)
将系坐标原点向下移动而建立新坐标系,简称系. 新旧坐标的关系为
(5) 把(5)式代入(4)式得
(6)
(6)式表示物块的运动是简谐振动. 若,则,对应于物块的平衡位置. 由(5)式可知,当物块处于平衡位置时,物块下底面在系中的坐标为
(7) 物块运动方程在系中可写为
(8) 利用参考圆可将其振动速度表示为
(9) 式中为振动的圆频率
(10) 在(8)和(9)式中和分别是振幅和初相位,由初始条件决定. 在物块刚被释放时,即时刻有,由(5)式得
(11)
(12)
由(8)至(12)式可求得
(13) (14)
将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得
(15) (16)
由(15)式可知,物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期;但物块的运动始终由(15)表示是有条件的,那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中. 若物块从某时刻起全部浸没在湖水中,则湖水作用于物块的浮力变成恒力,物块此后的运动将不再是简谐振动,物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定. 为此,必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况. 显然,在系中看,物块下底面坐标为时,物块刚好被完全浸没;由(5)式知在系中这一临界坐标值为
(17)即物块刚好完全浸没在湖水中时,其下底面在平衡位置以下处. 注意到在振动过程中,物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠,下面分两种情况讨论:
I.. 由(13)和(17)两式得
(18)
在这种情况下,物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中. 因而,物块从初始位置起,经一个振动周期,再次返回至初始位置. 由(10)式得振动周期
(19)物块从初始位置出发往返一次所需的时间
(20)
II.. 由(13)和(17)两式得
(21)
在这种情况下,物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下. 设从初始位置起,经过时间物块刚好全部浸入湖水中,这时. 由(15)和(17)式得
(22)
取合理值,有
(23) 由上式和(16)式可求得这时物块的速度为
(24)
此后,物块在液体内作匀减速运动,以表示加速度的大小,由牛顿定律有
(25)
设物块从刚好完全浸入湖水到速度为零时所用的时间为,有
(26)
由(24)-(26)得
(27)
物块从初始位置出发往返一次所需的时间为
(28)
评分标准:
本题17分.(6)式2分,(10)(15)(16)(17)(18)式各1分,(20)式3分,(21)
式1分,(23)式3分,(27)式2分,(28)式1分.
二、(23分)设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯,电梯项端可超过地球的同步卫星的高度R(从地心算起)延伸到太空深处,这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射人造卫星,其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度,然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。
1、设在某次发射时,卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升,(脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零)而进入太空。
。
,即可在它们相遇时回收该卫星。讨论该卫星从脱落时刻起,在0-12小时及12-24小时两个时间段内被太空电梯回收的可能性。
2、如果太空电梯地点位于东经110