拆项法与数列级数积分.doc

第一部分数列
在进行数列求和时,同学们都希望将n项变成1项,然而解决一类通项为分式的数列求和问题时,我们要往往将数列的每一项拆为两项,表面上看来是变得更麻烦了,最后求和的时候却能够得到非常简单的结果。想了解其中的奥秘吗?请跟我学!
总体思路
先看一个现象:, 简单的一项被拆分为两项,有什么意义呢?这就是常用得拆项法.
=?这个很好算,直接通分很容易就可得=,=?
费一番功夫通分运算得,观察得
如果将每一项都拆开的话前后项相消得解。
由上启发得,那么,
数列的求和问题则变得相当简单,那么如果通项分母中含有3个因子呢?如同样拆一为二这样数列的求和就变为数列和数列的求和问题,依次类推分母中含有多个因子,最后都能转变为类型的数列求和,这类题得解题步骤为:
第一步:求出或观察该数列的通项公式;
第二步:以“拆一为二”为原则,将数列的通项公式转化成形式;
第三步:以“拆一为二”为原则,对类型的数列求和进而得解。
下面我们来体验一下该方法的使用。
体验
求和
体验思路:首先易观察该数列的通项公式
第二步可直接对通项公式进行拆分,求n项和
体验过程:第一步:数列的通项公式为
第二步令k=1,2,3,… n

小结: 通过这个题目,同学关键要记住裂项求和的具体思考过程,这样才能够举一反三,不论题目换成什么花样,你也可以从容应对。再简要重复一下要点:
⑴首先求出或观察出数列的通项
⑵若通项不为形式则通过拆分法将通项化为形;
⑶以“拆一为二”为中心将拆分求解。
相信同学们已经明白了拆分思想,下面我们通过几道题来实践。
实践1
求数列 1,,,的前n项和
实践2
已知数列[an]的前n项和为Sn=n2+n,求和:
实践3
求数列的前n项和
实践题答案
实践1
指点迷津:表面上看不出来数列的通项,我们首先求出数列的通项;将数列的通项化为形式,则直接运用拆分法求解;
实践略解:求出数列通项
拆分得

=
==
实践2
指点迷津:首先求出数列的通项公式,从而得到所求数列的通项公式,最后利用拆分裂项法求解
实践略解:求得数列的通项公式得an=2n,然后得到该数列设为
的通项公式为
那么
实践3
指点迷津:观察该数列的通项公式,分母里含有3个因子,将其先拆为两项类型,而后分别求两个
类型的数列的和,那原数列的和自然也就得解。
实践略解:


怎么样?这种题是不是很简单啊?
第二部分级数
(1)
(2)
(3)
(4)
第三部分积分
1、==
2、
3、柴扰结距***范敌搅浮敲缩濒耕孪高鉴冈驮践驭进木病驻疟危芯弹彦赌柜伦迅白侮被从辫夸训秩郑咏钓镭