八个有趣模型 搞定空间几何体的外接球和内切球.doc

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
类型一、墙角模型(三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径)

方法:找三条两两垂直的线段,直接用公式,即,求出
例1 (1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为,体积为,则这个球的表面积是( C )
A. B. C. D.
(2)若三棱锥的三个侧面两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是
解:(1),,,,选C;
(2),
(3)在正三棱锥中,分别是棱的中点,且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是。
解:引理:正三棱锥的对棱互垂直。证明如下:
如图(3)-1,取的中点,连接,交于,连接,则是底面正三角形的中心,平面,,
,,,平面,
,同理:,,即正三棱锥的对棱互垂直,
本题图如图(3)-2, ,,
,,平面,
,,,,
平面,,
故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直,
,即,
正三棱锥外接球的表面积是
(4)在四面体中,,则该四面体的外接球的表面积为( D )
(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为、、,那么它的外接球的表面积是
(6)已知某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形,则该几何体外接球的体积为
解析:(4)在中,,
,的外接球直径为,
,,选D
(5)三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为(),则
,,,,,,,
(6),,
,
类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)
:如图5,平面
解题步骤:
第一步:将画在小圆面上,为小圆直径的一个端点,作小圆的直
径,连接,则必过球心;
第二步:为的外心,所以平面,算出小圆的半
径(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理,得
),;
第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①;
②
:如图6,7,8,的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上,顶点点也是圆锥的顶点


解题步骤:
第一步:确定球心的位置,取的外心,则三点共线;
第二步:先算出小圆的半径,再算出棱锥的高(也是圆锥的高);
第三步:勾股定理:,解出
方法二:小圆直径参与构造大圆。
例2 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为( )C
A. B. C.
解:选C,,, ,
,
类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直)

:如图9-1,平面平面,且(即为小圆的直径)
第一步:易知球心必是的外心,即的外接圆是大圆,先求出小圆的直径;
第二步:在中,可根据正弦定理,求出
-2,平面平面,且(即为小圆的直径)

-3,平面平面,且(即为小圆的直径),且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上,顶点点也是圆锥的顶点
解题步骤:
第一步:确定球心的位置,取的外心,则三点共线;
第二步:先算出小圆的半径,再算出棱锥的高(也是圆锥的高);
第三步:勾股定理:,解出
-3,平面平面,且(即为小圆的直径),且,则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①;
②
例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为1,底面边长为,则该球的表面积为。
(2)正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为,各