数学建模 淋雨模型.doc

淋雨量模型
一、问题概述
要在雨中从一处沿直线跑到另一处,若雨速为常数且方向不变,试建立数学模型讨论是否跑得越快,淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体,高a=(颈部以下),宽b=,厚c=,设跑步的距离d=1000m,跑步的最大速度vm=5m/s,雨速u=4m/s,降雨量ω=2cm/h,及跑步速度为v,按以下步骤进行讨论[17]:

(1)、不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量;
(2)、雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一平面内,且与人体的夹角为θ,,b,c,d,u,ω,θ之间的关系,问速度v多大,总淋雨里最少。计算θ=0,θ=30°的总淋雨量.
(3)、雨从背面吹来,雨线方向跑步方向在同一平面内,且与人体的夹角为α,,b,c,d,u,ω,α之间的关系,问速度v多大,总淋雨量最小。计算α=30°的总淋雨量.(说明:题目中所涉及的图形为网上提供)

、以总淋雨量为纵轴,速度v为横轴,对(3)作图(考虑α的影响),并解释结果的实际意义.
、若雨线方向跑步方向不在同一平面内,试建立模型
问题分析

淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积,可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
可得:
淋雨量(V)=降雨量(ω)×人体淋雨面积(S)×淋浴时间(t) ①
时间(t)=跑步距离(d)÷人跑步速度(v) ②

由①②得: 淋雨量(V)=ω×S×d/v
模型假设
(1)、将人体简化成一个长方体,高a=(颈部以下),宽b=,厚c==1000m,跑步最大速度vm=5m/s,雨速u=4m/s,降雨量ω=2cm/h,记跑步速度为v;(参考)
(2)、假设降雨量到一定时间时,应为定值;
(3)、此人在雨中跑步应为直线跑步;
(4)、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨,而不是人工,或者流失的水量,因为它可以直观的表示降雨量的多少;
模型求解:
(一)、模型Ⅰ建立及求解:
设不考虑雨的方向,降雨淋遍全身,则淋雨面积:
S=2ab+2ac+bc
雨中奔跑所用时间为:
t=d/v

总降雨量
V=ω×S×d/v

ω=2cm/h=2×10-2/3600 (m/s)
将相关数据代入模型中,可解得:
S=(㎡)
V= (cm³)= (L)
、模型Ⅱ建立及求解:
若雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一平面内,且与人体的夹角为θ.,则淋雨量只有两部分:顶部淋雨量和前部淋雨量. (如图1)

设雨从迎面吹来时与人体夹角为. ,且 0°<<90°,建立a,b,c,d,u,,之间的关系为:
(1)、考虑前部淋雨量:(由图可知)雨速的水平分量为且方向与v相反,故人相对于雨的水平速度为:

则前部单位时间单位面积淋雨量为:

又因为前部的淋雨面积为:,时间为: d/v
于是前部淋雨量V2为:

即:
①
(2)、考虑顶部淋雨量:(由图可知)雨速在垂直方向只有向下的分量, 且与v无关,