第7章 经典微积分和线性代数.pdf

第七章基础微积分和线性代数 1














第二部分金融数学基础
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第七章基础微积分和线性代数

7 基础微积分
7 线性代数

8 概率论
9 随机微积分 10 鞅

11 偏微分方程 11 数值方法

集合与函数 矩阵代数
集合和集族 向量与矩阵
实数集和它的结构 矩阵基本运算
映射和函数 矩阵求逆和微分
函数的性质 方阵和二次型
微分学 线性方程组
极限与收敛 问题的表述和克莱姆法则
导数和微分 线性相关和线性无关
中值定理和洛必达法则 矩阵的秩和线性方程组的解
偏导数和全微分 向量空间和分离超平面
积分学 向量空间
定积分 几何特征
不定积分 线性泛函与超平面
微积分基本定理 分离超平面定理

本章的学****目标为:

回顾集合的基本概念和运算规则;理解集族和西格玛-代数的定义和相关概念

回顾函数的概念和一些基本性质:如线性、单调性等

回顾极限、导数和微分的定义,了解如何用导数和微分概念刻画函数的各种态
性,用微分作近似计算,掌握泰勒公式,理解中值定理和洛必达法则

理解获得黎曼积分的直观方法,理解黎曼积分和斯蒂尔杰斯积分之间的差异

理解不定积分的定义,掌握不定积分和定积分之间的关系:微积分基本定理

记忆各种特殊类型的矩阵,如对称阵、三角阵、单位阵等以及它们在运算中的
作用

掌握矩阵的各种运算,例如乘法、求逆和微分和相应的运算规则

了解方阵的重要特征如行列式、迹等,特别注意二次型的定义和类别

掌握克莱姆法则及其运用的条件,掌握线性组合、线性相关、无关、秩等重要
概念以及特征

了解线性方程组的解的特征,以及解存在的充要条件

了解向量空间中诸如维数、扩展、基、核等基本概念,了解向量空间中的重要
几何特征,例如长度、距离、角度、投影等,并理解对套利定价定理的证明

了解分离超平面定理和它在经济分析中的应用

掌握基于微积分和线性代数的几种经济最优化技术

从本章起我们就进入了金融数学部分的学****作为这个循序渐进过程的开始。本章首先
是对一些基础数学概念,例如集合、函数等的复****然后简要地回顾经典微积分学和高等
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代数。毫无疑问,其中大多数内容,读者都会相当的熟悉。这种复****的目的之一在于使读
者熟悉本书使用的符号体系;其二在于熟悉常用的经济最优化原理;此外由于金融分析中
采用的随机微积分技术,对一个初学者来说显得过于抽象,通过相互比较和引申,我们能
够发现经典微积分原理可以解决什么问题,又提出了什么问题需要进一步研究,这便于我
们在以后引出更感兴趣的随机微积分。

集合和函数

集合和集族
集合(set)是现代数学中最基本的概念之一。由于这种基本性,它反到难于严格定义。但
通常可以把集合直观地描述为:具有某种共同特征的对象或者事物的汇总。构成集合的对
象称为该集合的元素(element)。本书中,我们使用大写字母 A 、 B 、 C ⋯⋯来表示集合;
用小写字母 x 、 y 、 z ⋯⋯来表示集合中的元素。集合称为空集,记为∅。图 7-1 是一个金融业界常见的关于集合的例子。显然股票、债券、
期权⋯⋯都是金融产品这个无所不包并在不断创新的巨大集合的元素。

股票债券

期权期货
金融产品
图 7-1 金融产品集合及其元素
通常我们把只含有有限个元素(无穷个元素)的集合称为有限(无穷)集合。如果一个无穷
集合,它的元素可以与所有正整数一一对应的进行罗列,则称这个无穷集合为可列集或者
可数集,反之则称为不可列集。
表示集合的方法一般有两种。其一是简单例举法,例如 A = {1,2,...,n} 。但是这种表示方
法的局限性是显而易见的。因此更一般的是通过给出集合中元素所满足的条件来表示集合,
即:
A = {x | x具有的共同特征}
这样:
A = {x