抽象函数奇偶性的判定.doc

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抽象函数的具体模型


类型一:抽象函数证明函数的奇偶性问题
①,满足,如何证明为奇函数?
②,满足,如何证明为偶函数?
类型二:抽象函数证明函数的单调性问题
若且、证明其单调性
若、证明其单调性
探究二:函数性质(单调性、奇偶性)定义经典试题
一、判断单调性和奇偶性
1. 判断单调性
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质,画出函数的示意图,以形助数,问题迅速获解。
,那么在区间上是
A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为
分析:画出满足题意的示意图,易知选B。
,问在上是增函数还是减函数,并证明你的结论。
分析:如图所示,易知在上是增函数,证明如下:
任取
因为在上是减函数,所以。
又是偶函数,所以,
从而,故在上是增函数。
2. 判断奇偶性
根据已知条件,通过恰当的赋值代换,寻求与的关系。
,判断:函数
是什么函数。
解:设图象上任意一点为P()与的图象关于原点对称, 关于原点的对称点在的图象上,

又
即对于函数定义域上的任意x都有,所以是偶函数。
二、证明单调性和奇偶性

,满足,且当时,,求证:(1)时,(2)在R上为减函数。
证明:对一切有。
且,令,得,
现设,则,, 而
,
设且, 则

, 即为减函数。

,且对任意实数x,y满足,求证:是偶函数。
分析:在中,令,
得
令,得
于是故是偶函数。
三、求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性,去掉“”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别注意函数定义域的作用。
()上的偶函数,且在(0,1)上为增函数,满足,试确定的取值范围。
解:是偶函数,且在(0,1)上是增函数, 在上是减函数,
由得。
(1)当时, ,不等式不成立。
2)当时,
(3)当时,

综上所述,所求的取值范围是。
四、不等式
,再通过函数的单调性去掉函数符号“”,转化为代数不等式求解。
,当时,
,,求不等式的解集。
解:设且则,
即,
故为增函数,
又

因此不等式的解集为。
2. 讨论不等式的解
求解这类问题利用函数的单调性进行转化,脱去函数符号。
例8,. 已知是定义在上的奇函数,若,且时,恒有
.(1)判断在上是增函数还是减函数,并证明你的结论;
(2)解不等式
五、比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内,然后利用其单调性使问题获解。
例9,已知函数是定义域为R的偶函数,时,是增函数,若,,且,则的大小关系是_______。
分析:且,
又时,是增函数,
是偶函数
故1. 对于定义在上的函数,给出三个命题:
(1)若,则是偶函数;(2)