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从一题多解中探讨二面角的求法
湖南邵东三中刘强刚
立体几何中,空间角有线线角、线面角与面面角三类,而二面角又是高中数学教学的重点和难点,其难就难在它不能直接度量,"死"又"活",说它"死",是指其三个条件:(1)顶点在棱上;(2)边分别在两个半平面内;(3),尤其是线线垂直不直观,难以把握,说它"活",就是指它的顶点在棱上没有固定位置,,下面从一例多解来谈谈常见的二面角求法.
首先我们一起来回忆理解二面角的基础知识。
1、二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面。
2、而二面角的度量是用平面角,称为二面角的平面角。
具体的定义如下:
一个平面垂直于二面角的棱,且与两个半平面的交线分别是OA、OB,O为垂足,则叫做二面角的平面角。角的范围是.
3、二面角的通常求法
(1)由定义作出二面角的平面角;
(2) 作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。
(3)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;
(4)空间坐标求二面角的大小,利用异面直线(两直线垂直于棱)所成的角,平面的法向量求.
(5)射影面积法
下面通过一个例子多种解法让同学们理解立体几何中的二面角的求法。
例:平面ABC,求二面角的大小.
方法1:找二面角的平面角
如图,作于,因为,
所以,从而,作
于,连,由三垂线定理得,所以
为二面角的平面角.
在中, ,
.在等腰直角三角形中,易知,
在,故二面角的大小是。
教学分析:利用三垂线定理作出二面角A―PB―C平面角,但有些题目是比较难以找出所求的二面角的平面角的。
方法2:利用垂直于棱的两异面直线所对应的向量
如图,取PB的中点D,连结CD,因为,所以
,作于E,则二面角的

所以,
又,
且,得知
于是
二面角的大小是
教学分析:将二面角转化为两异面直线所成的角,利用间接求出异面直线所成的角,可省去认定二面角的平面角的过程,但是注意根据异面直线所成角的范围与二面角的平面角范围不同去判断所求的角是锐角、钝角还是直角,这是向学生要说明的地方。
方法3:利用空间直角坐标系,求异面直线所成的角
以A为原点,AC,AP为Y,Z轴建立空间直角坐标系,则
设
的中点为D,则
作

二面角的大小是
教学分析:这也是将二面角转化为两异面直线所成的角,建立空间直角坐标系,在二面角的两个半平面内,分别从棱上点(不要求共点)出发作出与棱垂直的两个向量,将求二面角转化为求两个向量所成的角。若此二个向量易求,则此