切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理1.doc

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
[学****目标]

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度。

对于切线长定理,应明确(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;(3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补;(5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P,PC、PD为弦,图中几个弦切角呢?(四个)
:弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
:圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角。
,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理。

定理
图形
已知
结论
证法
相交弦定理

⊙O中,AB、CD为弦,交于P.
PA·PB=PC·PD.
连结AC、BD,证:△APC∽△DPB.
相交弦定理的推论

⊙O中,AB为直径,CD⊥AB于P.
PC2=PA·PB.
用相交弦定理.
切割线定理

⊙O中,PT切⊙O于T,割线PB交⊙O于A
PT2=PA·PB
连结TA、TB,证:△PTB∽△PAT
切割线定理推论

PB、PD为⊙O的两条割线,交⊙O于A、C
PA·PB=PC·PD
过P作PT切⊙O于T,用两次切割线定理
圆幂定理

⊙O中,割线PB交⊙O于A,CD为弦
P'C·P'D=r2-OP'2
PA·PB=OP2-r2
r为⊙O的半径
延长P'O交⊙O于M,延长OP'交⊙O于N,用相交弦定理证;过P作切线用切割线定理勾股定理证
:过一定点P向⊙O作任一直线,交⊙O于两点,则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||(R为圆半径),因为叫做点对于⊙O的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理。

【典型例题】
,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆O,过A作半圆切线,切点为F,交CD于E,求DE:AE的值。
图1
解:由切线长定理知:AF=AB=1,EF=CE
设CE为x,在Rt△ADE中,由勾股定理

∴,,


例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E,若AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,那么CE=_________cm。
图2
解:由相交弦定理,得
AE·BE=CE·DE
∵AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,
,
∴,
即
∴CE=3cm或CE=4cm。
故应填3或4。
点拨:相交弦定理是较重要定理,结果要注意两种情况的取舍。

,PCB是圆的割线,则________。
解:∵∠P=∠P
∠PAC=∠B,
∴△PAC∽△PBA,
∴,
∴。
又∵PA是圆的切线,PCB是圆的割线