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文档介绍
第二节换元积分法
一、第一类换元法
二、第二类换元法
三、小结思考题
1.【问题】
?
2.【解决方法】
3.【过程】
令
一、第一类换元法—凑微分法
利用复合函数求导法,设置中间变量,把较难求的不定积分化为较易求的不定积分。
我们称利用中间变量的代换求积分的方法为换元积分法。换元积分法分两类:第一类换元法(凑微分法),第二类换元法(变量代换法)。
复合函数的积分法——换元法
设
则
如果
(可微)
由此可得换元法定理
4. 【凑微分法方法推导】
5.【定理1】
第一类换元公式(凑微分法)
将u换为x的可微函数仍然成立,这就大大扩大了基本积分公式的使用范围.
【说明】
用此公式关键在于将
化为
即
【实质】
将g(x)的积分转化为f (u)的积分,如能求得 f (u)的原函数,也就得到了g(x)的原函数.
【例1】求
【解Ⅰ】
【解Ⅱ】
【解Ⅲ】
【注】观察重点不同,
6【主要类型】
【例2】求
【解】
(略)
公式
公式
【例如】求
【解】
可省略,直接套上页公式⑦
【例3】求
【解】
【例4 】求
【解】
公式
即
类似地
公式
降幂法
类似可求
拆开奇次项凑微分
一、第一类换元法
二、第二类换元法
三、小结思考题
1.【问题】
?
2.【解决方法】
3.【过程】
令
一、第一类换元法—凑微分法
利用复合函数求导法,设置中间变量,把较难求的不定积分化为较易求的不定积分。
我们称利用中间变量的代换求积分的方法为换元积分法。换元积分法分两类:第一类换元法(凑微分法),第二类换元法(变量代换法)。
复合函数的积分法——换元法
设
则
如果
(可微)
由此可得换元法定理
4. 【凑微分法方法推导】
5.【定理1】
第一类换元公式(凑微分法)
将u换为x的可微函数仍然成立,这就大大扩大了基本积分公式的使用范围.
【说明】
用此公式关键在于将
化为
即
【实质】
将g(x)的积分转化为f (u)的积分,如能求得 f (u)的原函数,也就得到了g(x)的原函数.
【例1】求
【解Ⅰ】
【解Ⅱ】
【解Ⅲ】
【注】观察重点不同,
6【主要类型】
【例2】求
【解】
(略)
公式
公式
【例如】求
【解】
可省略,直接套上页公式⑦
【例3】求
【解】
【例4 】求
【解】
公式
即
类似地
公式
降幂法
类似可求
拆开奇次项凑微分
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