高三导数压轴题题型归纳.doc

导数压轴题题型
1. 高考命题回顾
例1已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(2013全国新课标Ⅱ卷)
(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;
(2)当m≤2时,证明f(x)>0.
(1)解 f(x)=ex-ln(x+m)⇒f′(x)=ex-⇒f′(0)=e0-=0⇒m=1,
定义域为{x|x>-1},f′(x)=ex-=,
显然f(x)在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.
(2)证明 g(x)=ex-ln(x+2),则g′(x)=ex-(x>-2).
h(x)=g′(x)=ex-(x>-2)⇒h′(x)=ex+>0,
所以h(x)是增函数,h(x)=0至多只有一个实数根,
又g′(-)=-<0,g′(0)=1->0,
所以h(x)=g′(x)=0的唯一实根在区间内,
设g′(x)=0的根为t,则有g′(t)=et-=0,
所以,et=⇒t+2=e-t,
当x∈(-2,t)时,g′(x)<g′(t)=0,g(x)单调递减;
当x∈(t,+∞)时,g′(x)>g′(t)=0,g(x)单调递增;
所以g(x)min=g(t)=et-ln(t+2)=+t=>0,
当m≤2时,有ln(x+m)≤ln(x+2),
所以f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)=g(x)≥g(x)min>0.
例2已知函数满足(2012全国新课标)
(1)求的解析式及单调区间;
(2)若,求的最大值。
(1)
令得:

得:
在上单调递增

得:的解析式为
且单调递增区间为,单调递减区间为
(2)得
①当时,在上单调递增
时,与矛盾
②当时,
得:当时,

令;则

当时,
当时,的最大值为
例3已知函数,曲线在点处的切线方程为。(2011全国新课标)
(Ⅰ)求、的值;
(Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范围。
解(Ⅰ) 由于直线的斜率为,
且过点,故即解得,。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以
。
考虑函数,则。
(i)设,由知,当时,,h(x)递减。而故当时, ,可得;
当x(1,+)时,h(x)<0,可得 h(x)>0
从而当x>0,且x1时,f(x)-(+)>0,即f(x)>+.
(ii)设0<k<=的图像开口向下,且,对称轴x=.当x(1,)时,(k-1)(x2 +1)+2x>0,故(x)>0,而h(1)=0,故当x(1,)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾。
(iii),(x)>0,而h(1)=0,故当x (1,+)时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛盾。
综合得,k的取值范围为(-,0]
例4已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x. (2009宁夏、海南)
(1)若a=b=-3,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(-∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β-α>6.
解: (1)当a=b=-3时,f(x)=(x3+3x2-3x-3)e-x,故
f′(x)=-(x3+3x2-3x-3)e-x +(3x2+6x-3)e-x
=-e-x (x3-9x)=-x(x-3)(x+3)e-x.
当x<-3或0<x<3时,f′(x)>0;当-3<x<0或x>3时,f′(x)<0.
从而f(x)在(-∞,-3),(0,3)单调增加,在(-3,0),(3,+∞)单调减少.
(2)f′(x)=-(x3+3x2+ax+b)e-x +(3x2+6x+a)e-x=-e-x[x3+(a-6)x+b-a].
由条件得f′(2)=0,即23+2(a-6)+b-a=0,故b=4-a.
从而f′(x)=-e-x[x3+(a-6)x+4-2a].因为f′(α)=f′(β)=0,
所以x3+(a-6)x+4-2a=(x-2)(x-α)(x-β)=(x-2)[x2-(α+β)x+αβ].
将右边展开,与左边比较系数,得α+β=-2,αβ=a-2.
(β-2)(α-2)<0,
即αβ-2(α+β)+4<<-6. 于是β-α>6.
2. 在解题中常用的有关结论※
(1)曲线在处的切线的斜率等于,且切线方程为
。
(2)若可导函数在处取得极值,则。反之,不成立。
(3)对于可导函数,不等式的解集决定函数的递增(减)区间。
(4)函数在区间I上递增(减)的充要条件是:恒成立( 不恒为0).
(5)函数(非常量函数)在区间I上不单调等价于在区间I上有极值,则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。(若为二次函数且I=R,则有)。
(6) 在区间I