7.1 紧致空间.ppt

第7章紧致性
§
本节重点:掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法。(这些方法哪些是充要条件?)
掌握紧致性是否是连续映射可保留的,是否是可遗传的、有限可积的。
紧致空间
,则称拓扑空间X是一个紧致空间.
注:.
一、紧致性及其刻画
例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个
Lindelöff空间,但它不是一个紧致空间.
紧致空间
设X是一个拓扑空间,Y是X中的一个子集, 如果Y作为X的子空间是一个紧致空间,则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集.
设X是一个拓扑空间,.
紧致空间
Y
X
紧致空间
因此有一个有限子覆盖,设为
{ },
证明:必要性设Y是拓扑空间X中的一个紧致子集,
A是Y的一个覆盖,它由X中的开集构成.
A
则容易验证集族也是Y的一个覆盖,它由Y中的开集构成.
于是 A 的有限子族覆盖Y.
紧致空间
此时易见A 的子族{ }.
充分性,假定每一个由X的开集构成的Y的覆盖都有一个有限子覆盖.
则对于每一个A∈A 存在X中的一个开集使得A= ∩Y.
设A是Y的一个覆盖,它由Y中的开集构成.
因此是由X中的开集构成的Y的一个覆盖,所以有一个有限子覆盖,设为{ }
A
图
继续
紧致空间
Y
X
A
UA
紧致空间
这是因为如果设A={(-n,n) R | n∈Z+},则A的任何一个有限子族
{ } ,由于它的并为
(-max{ },max{ })
.
实数空间R不是一个紧致空间.

紧致空间
例有限补空间(X,T )为紧致空间.
是一个有限集,所以A 的子族
也是有限的,易见它也覆盖X.
因此,包含着有限补空间是紧致空间。
证: 中取定一个非空集合A.(不妨设A≠Φ、X),则X-A为有限集,记为
对于每一个在A中选取一个
紧致空间
例平庸空间(X,T )为紧致空间.
例设(X,T )为离散空间,
则X为紧致的
包含着无限但可数个点的离散空间是一个
Lindelöff空间,但它不是一个紧致空间.
紧致空间