《线性代数》第7章习题解答new3-1.doc

设,以下哪些函数定义了的一个内积?
(1), 否
(2) , 是
(3) , 否
(4) , 否
.
(1) ()
(2) ()
(3) (√)
(4) ()
(5) (√)
设是正定矩阵,在中对任两个向量,,定义,证明:在这个定义下构成欧氏空间,并写出这个空间的柯西——施瓦兹不等式.
证明:(1)
(2)
(3)设:
(4)由的正定性知,当且仅当时,,即,从而在定义下构成欧氏空间。——施瓦兹不等式为
在中,求之间的夹角(内积按对应分量乘积之和).
(1)
(2)
解:(1)
(2),从而
在中求一单位向量与正交.
解:设所求向量为,应有:
解之得:,
又,得:,
把向量组标准正交化(内积为对应分量乘积之和):,
,。
解:,取:
,,
取,
,即为所求。
次数不超过3的所有实系数多项式,根据
构成一欧氏空间,试求它的一个标准正交基(由基出发作正交化)。
解:为欧氏空间的一个基,现将其标准正交化.,(此处),取:
,,;取, ,;,
;即为所求.
求齐次线性方程组:的解空间(作为的子空间)的一组标准正交基。
解:解方程组,得解空间的一组基,
, , 。
将其标准正交化:,
取,
;
取,
;
即为所求.
设是三维欧氏空间中一组标准正交基,证明:,,也是一组标准正交基。
证明:,为单位向量,又:
,类似有:
,两两正交. 从而为三维欧氏空间中一组标准正交基.
设是欧氏空间的向量,且可以由线性表示,证明若与每一个正交,则.
证明:由可以由线性表示得知,存在一组数使
又与正交,,从而。
在欧氏空间V中,,如果任意有,证明:。
证明:对任意,即,由10知,从而.
设是由生成子空间,则向量垂直充要条件为垂直.
证明:必要性显然,只需证充分性.
对任意,可由线性表示,即存在,使:
.
,
,从而.
,是中一固定向量。证明:
(1)是的子空间;(2)的维数等于.
证明:
(1)对任意,,对任意常数,,从而为的子空间。
(2) 由定理4知可扩充为的一组正交基,易知:。对任意,可由线性表示。即存在使,又,知,即:
,故
即可由线性表示。为的一组基。
:
在最小二乘意义下,求最佳拟合直线方程.
解:设所求直线方程为,将值代入得:
, , , ,,最佳拟合直线方程为.
(保留三位有效数字)。

解:,,,最小二乘解:
。价祁辽陷磋椽昨越歌浴旋扒断满霍焙奠激秽贿惹切模恼瘩吕凡嚼前生钻径婉植闰坝鹿科垦赢拄讶棱锄