反三角函数学习指导.doc

学****反三角函数的概念、图像和性质,利用反三角函数表示角,掌握反三角函数的化简求值等运算。
本章知识要点:
(1)确切理解反正弦函数的意义。表示一个在上的角,这个角的正弦值为。因此我们有:
同理我们可以理解和定义其它反三角函数。
(2)反三角函数的图像可依据三角函数在主值区间上的函数图像,再利用互为反函数的两个函数图像关于对称的关系画出来。由图像研究反三角函数的性质:是奇函数且为增函数,
是非奇非偶函数且为减函数是奇函数且为增函数,
例题讲析:
例1:画出下列函数的图像
(1)
函数是以为周期的周期函数
当时,
当时,
其图像是折线,如图所示:
(2)
∵
∴
其图像为单位圆的上半圆(包括端点)如图所示:
例2:计算:
解:设
设
从而,又故原式=
讲评:在这里提醒同学们注意一定要考虑的范围,在得到后,防止出现或等错误。
例3:已知求(用反三角函数表示)
分析:可求的某一三角函数值,再根据的范围,利用反三角函数表示角。
解:∵∴
又∵∴
∵∴
又∵∴
又∵∴∴
从而
讲评:由题设,得由计算
∴,但是确定的角,因而的值也是唯一确定的。所以必须确定所在的象限,在以上的解法中,由的范围,再根据的值,进一步得到从而确定,故得出正确的答案:
例4:求的反函数
解:
,
即原函数的反函数为
讲评:求三角函数的反函数时要注意利用诱导公式将角度变换到反三角函数的主值区间,同时要验证这个角的三角函数值。
例5:已知函数
求函数的定义域、值域和单调区间;(2)解不等式:
解:(1)由得又
∴的定义域为,值域为
又∵时,单调递减,单调递减,从而递增
∴的单调递增区间是,同理的单调递减区间是
(2)
即
∴解不等式组得
∴不等式的解集为
讲评:在研究反三角函数的性质和解有关反三角函数的不等式时,要特别注意反三角函数的定义域,值域及性质对解题过程和计算结果的影响。
反三角函数练****题
填空题:
函数的值域是_________________
则=_________________
满足的取值范围是_________________
若,则=________________
使成立的取值范围是_________________
若,在上满足的的范围是_________________
直线与曲线只有一个公共点,则实数m的取值范围是__________________________
化简_________________
函数的值域是_________________
求的反函数是_________________
函数的值域是________________
二次函数的二次项系数是负数,对任意,,设,则M,N的大小关系为__________
:
已知,则有( )
A. B. C. =0 D. 这样的不存在
下列各式中正确的是( )
A. B.
C. D. sin(os
函数在上是( )
A. 偶非奇函数 B. 奇非偶函数 C. 即奇又偶函数 D. 非奇非偶函数
函数的值域是( )
A. B. C. D.
;
解不等式:
已知函数求它的最大值与最小值
已知,试求适合的角。
已知
试